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sia la somma degli esponenti delle sostituzioni Ti e T2 aumentata della 

 somma dei valori assoluti degli interi p e q, che io suppongo entrambi di- 

 versi da zero. 



Voglio ora dimostrare che, se le sostituzioni Ti e T2 non coincidono con- 

 temporaneamente con la sostituzione identica, la somma 



[T, Bi T2] + [Ti B? A.P T2] 



si esprime mediante una funzione intera e razionale d' invarianti, che hanno 

 r esponente minore di ^ . 



Si osservi anzitutto che, qualunque siano le sostituzioni Ti e T2 , si ha 

 identicamente 



[TiTJ^CT^Ti] 



perchè la sostituzione TgTj si può anche scrivere Ti~' (Ti T2) Ti . 



Ciò posto, applicando successivamente la (2), si hanno le formole - 



[(T2TiA-J')(B?)-i] = [T2TiA-^^J [B«] — [T2T1 A-f B?] , 

 l{% T.) (Af)-i] = [T2 T,] [Af] — [To Ti A^] , 

 [Ts Ti A-f B?] = [(B?T2Ti) (A^^)-'] [B^ T2T,] [A^'] — [B5T2T1 Af] 



dalle quali si deduce 



[T2T, A-^'B-?] = 



= [T2T1 APBi^ — [T, Af T2] [B-?] — [T1B2T2] [Af] + [T.Ts] [A^'] [B'?] ; 



poi, applicando nuovamente la stessa trasformazione, si trova 

 [(T2 T 1 ) (B? A.P}-'^ = [T2 Ti] [B-? Af ] — [T2 Ti B? A^'] . 



Giacché i primi membri delle due relazioni precedenti sono eguali, te- 

 nendo presente l' osservazione premessa, risulta la formola 



(5) [TiA2'B'?T2] + LT,B?AfT2]=: 



= [TiAf T2] [B2] 4- [T1B2T2] [AJ'] — [TiT2] ([A?^] [_Bq — [A^'B'?]) 



la quale dimostra la mia asserzione. 



Dunque l'invariante della sostituzione TiA^'B''T2 si esprime mediante 

 l'invariante della sostituzione TiB^A2'T2, che differisce dalla prima per lo 

 scambio di due fattori consecutivi, e gì' invarianti di altre sostituzioni, che 

 hanno esponenti inferiori a 



5. Dal momento che il numero delle sostituzioni che hanno 1' esponente 

 inferiore a ^ti è finito, è chiaro che, applicando un numero finito di volte il 

 risultato precedente, si giunge ad esprimere l' invariante di una sostituzione 

 qualunque di F mediante invarianti di sostituzioni tali che, in ognuna di 

 esse, le sostituzioni fondamentali che vi figurano, si presentino ciascuna una 

 sola volta ed in un ordine prestabilito. 



Rendiconti, 1898, Vol. VII, 1° Sem. 47 



