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Quindi si può ritenere che l'invariante di ogni sostituzione di F sia 

 una funzione razionale intera d'invarianti del tipo 



(6) [A« ... L>^] 



dove a , j5 , ... , A sono numeri interi arbitrari. 



Ora, se nelF invariante (6) figura una sostituzione fondamentale A con 

 r esponente « ={= 1 , io posso permutare circolarmente i diversi fattori che 

 figurano nell'invariante (6), il che non altera il detto invariante, in modo 

 da portare in ultimo posto A"; poi, applicando la formola (1), riduco l'espo- 

 nente « all'unità. 



Si viene così a stabilire il risultato di cui ho discorso precedentemente 

 del sig. Poincaré; ma il procedimento che io ho seguito, oltre che conduce 

 al risultato generale in modo diretto, mette in rilievo il fatto importante 

 che segue. 



Quando si esprime l' invariante di una sostituzione qualunque di F me- 

 diante gl'invarianti fondamentali, il massimo ordine degli invarianti fonda- 

 mentali, che si presentano, non supera evidentemente il numero delle sosti- 

 tuzioni fondamentali distinte che figurano nella sostituzione data ; dippiù, le 

 formole (1) e (5) mostrano che la detta espressione risulta lineare rispetto 

 agli invarianti di ordine non inferiore a 3. 



6. Ciò posto, dato un invariante fondamentale 



[AB...H] 



d' ordine r ^ 2 , si può subito verificare l' identità 



[ (AB ... H)2] = [AB ... HJ — 2 . 



D' altra parte, scrivendo l' invariante del primo membro sotto la forma 



[AB ... H AB ... H] 



e riducendo con le formole (5) e (1), si vede facilmente che esso si esprime 

 con una funzione lineare intera dell'invariante [AB... H], che ha per coef- 

 ficienti funzioni razionali intere di invarianti fondamentali d' ordine inferiore 

 ad r. 



Paragonando le due espressioni ottenute si ha un' equazione del tipo 



[AB ... HJ^ -|- [AB ... H] a> + «fi = 0 



dove (P e sono funzioni intere e razionali d' invarianti fondamentali di or- 

 dine inferiore ad r. 



Dunque, aggiungendo al campo di razionalità i valori degli invarianti 

 fondamentali il cui ordine non supera r — 1 , ogni invariante d' ordine r si 

 ottiene mediante una estrazione di radice quadrata. Poi, se r — 1 supera 2, 

 aggiungendo al campo di razionalità soltanto i valori degli invarianti fon- 



