— 345 — 



damentali il cui ordine non supera r — 2, ogni invariante fondamentale di 

 ordine r — 1 si ottiene mediante una estrazione di radice quadrata. Così 

 proseguendo si conclude che, aggiungendo al campo di razionalità soltanto 

 gli invarianti di 1° e 2" ordine, ogni invariante fondamentale, il cui ordine 

 supera 2, è radice di una equazione algebrica risolubile con estrazioni di ra- 

 dici quadrate; ed è bene notare che in una tale equazione il coefficiente 

 del termine di grado più elevato è sempre l'unità. 



7. Per esempio, ponendo 



[A] = , [B] u, , [C] - IH , 



e chiamando uo l'invariante fondamentale del 3" ordine [ABC], si ha: 



[(ABC)^] = ?ì;-^ — 2; 

 poi, applicando la forniola (5) all' invariante 



[A(BC) (AB) C], 



si trova subito 



[(ABC)^] = — [A^B^C^] + [A^BC] Vy + [AB^C] + [ABC^] — v.VtV-, ; 

 dopo ciò, riducendo gli esponenti all'unità si ottiene 



[(ABC)^3 = {viU^Uz -{-V2U3U1 + V3U1U2 — ViV-zVs) + 

 -}- w{uiVi + U2V2 U3V3) — 0^1^ -j- uz^ + + Vi'- + v-i^ 4- Vs^ — 2). 



Confrontando le due espressioni di [(ABC)-] si giunge all' equazione (^) 



20^ — w{UiVi -j- -j- U3V3) — {VilhUs -f- V2U3U1 -\- V3U1U2 2^1 ^2^3) + 



+ {U,'-\-U2'-{-U3' + V,'-{-V2'-\-V3' — 4:) = 0. 



Quando si scambia ad es. A con B , l' invariante Ui si scambia con U2 

 e r invariante Vi con V2 , mentre it3 e 113 restano inalterati. Dunque, facendo 

 tale scambio, non si alterano i coefficienti della precedente equazione e perciò, 

 se una radice della detta equazione è 



[ABC] = [BCA] = [CAB] , 



r altra radice è 



[BAC] = [ACB] = [CBA]. 



Che cosa accade in generale? Ecco una questione che merita di essere 

 studiata. 



8. Io termino osservando che gl'invarianti fondamentali di 1° e 2" ordine 

 non sono, in generale, algebricamente indipendenti tra loro. Ognuna delle n 

 sostituzioni fondamentali del gruppo r dipende da 3 parametri ; mentre gli 

 invarianti fondamentali di 1° e 2° ordine sono in numero di \n{n-{-l). 



(') Cfr Poincaré, 1. cit. 



