— 66 — 



del secondo grappo sono invece interi algebrici formati, in un certo modo, 



■i _ 



colla radice quinta dell'unità e coli' irrazionalità ]/5, 



« 1. Per maggiore chiarezza ricordiamo brevemente le proprietà fonda- 

 mentali delle due rappresentazioni dello spazio non-euclideo sullo spazio or- 

 dinario, di cui dovremo far uso in questa Nota. 



K L'elemento lineare dello spazio non-euclideo S, a curvatura K = — 1 , 

 può assumersi dato dalla formola 



, , dx^ dr -h d.s^ + dt^ 

 ds^ = , 



ove 



= ì/l _ ^2 _ _ ^2 



e riguardando a; ,y , s come coordinate cartesiane ortogonali di un punto dello 

 spazio ordinario S' si ha la rappresentazione di Beltrami-Klein di S sopra S'. 

 In essa tutto lo spazio non-euclideo S è rappresentato entro la sfera limite 

 (assoluto) di S' 



x^ -\- = 1 , 



i punti alla cui superficie rappresentano i punti all'infinito di S. Le rette 

 ed i piani di S hanno per immagini le rette ed i piani di S'. 

 « La seconda rappresentazione si ottiene dalla formola 

 , _ 4(d^'-hd>f + dC') 



che dà nuovamente l'elemento lineare di S, riguardando ancora f rj C quali 

 coordinate cartesiane ortogonali di im punto nello spazio ordinario S'. A dif- 

 ferenza della prima che conserva gli angoli solo attorno al centro di figura, 

 questa conserva dappertutto gli angoli: è una rappresentazione conforme; 

 in essa le rette ed i piani dello spazio non-euclideo S hanno per immagini 

 i circoli e le sfere ortogonali alla sfera limite 



i cui punti interni rappresentano i punti a distanza finita di S e i punti alla 

 superficie i punti all'infinito. 



« Con una inversione per raggi vettori reciproci la sfera limite può ri- 

 dursi, come nelle ricerche di Poincaré, ad un piano limite; corrispondente- 

 mente l'elemento lineare di S prende la forma 



, dr- + drf + di^ 



e i punti con ordinata t positiva rappresentano i punti a distanza finita di S. 



« 2. Per risolvere il problema che ci siamo proposti della divisione rego- 

 lare dello spazio non-euclideo in poliedri regolari, cominciamo dall'osservare 

 che la rappresentazione di Beltrami-Klein ci dà un modo semplicissimo di 

 costruire tutti i poliedri regolari in S colle considerazioni seguenti: 



