— 67 — 



" Un poliedro regolare di S dovendo avere per immagine in questa rap- 

 presentazione un poliedro con faccie piane tutte di un egual numero di lati 

 ed angoli solidi di un egual numero di spigoli, è chiaro che la discussione 

 elementare ordinaria per classificare i poliedri regolari in cinque tipi, fon- 

 data sul teorema d'Eulero, vale immutata nel caso attuale. Di più dalle note 

 ricerche di Klein sui gruppi finiti di sostituzioni lineari risulta facilmente 

 che un poliedro regolare dello spazio non-euclideo può sempre rappresentarsi 

 sullo spazio ordinario in guisa che il poliedro immagine in S' sia esso stesso 

 regolare ed abbia il centro nel centro della sfera limite. 



" Viceversa se nello spazio rappresentativo S' prendiamo un poliedro 

 regolare col centro nel centro della sfera limite e tutto interno a questa 

 sfera, o al massimo inscritto in essa (^), il poliedro obiettivo nello spazio 

 non-euclideo sarà, come è chiaro, regolare. Come si vede, esistono adunque 

 nello spazio non-euclideo poliedri regolari dei cinque tipi ed in ogni tipo » 

 si hanno infiniti poliedri differenti per l'ampiezza del diedro, che può variare 

 in modo contiimo entro limiti facili ad assegnarsi. 



" 3. Ora se vogliamo che attorno al poliedro regolare P di S collocando, 

 aderenti per le faccie, altrettanti poliedri eguali a P e così di seguito inde- 

 finitamente, ne risulti riempito una ed una sola volta lo spazio S, dovremo 

 aggiungere la condizione necessaria e sufficiente che l'angolo diedro di P 



abbia un'ampiezza = - , essendo n un numero intero. 



n 



" Conviene distinguere due casi secondo che i vertici di P sono all'in- 

 finito ovvero a distanza finita. Cominciando dal primo e servendoci della 

 rappresentazione conforme al n. 1, dovremo inscrivere nella sfera limite 2 

 un ordinario poliedro regolare e pei circoli d'intersezione delle faccie del 

 poliedro con 2 condurre le sfere normali a 2; il poliedro a faccie sferiche 

 che queste sfere limitano internamente a 2 dovrà avere un angolo diedro 



TT 



d'ampiezza - . Ora si vede subito che le sfere descritte hanno i centri nei 



vertici del poliedro regolare circoscritto a 2 polare del primitivo, onde l'an- 

 golo diedro in discorso è misurato dall'angolo rettilineo racchiuso dai due 

 raggi, che dal centro di una faccia del secondo poliedro vanno a due suoi 

 vertici adiacenti. Se ne conclude che la circostanza voluta si presenta sol- 

 tanto per l'ottaedro regolare, ove si avrà n~2. 



K Nel secondo caso, i vertici essendo a distanza finita, si consideri l'an- 

 golo solido in un vertice del poliedro. A questo angolo solido regolare il cui 



diedro deve avere un'ampiezza = - potremo applicare i teoremi dell'ordinaria 



(1) In quest'ultimo caso il poliedro obiettivo in S avrà tutti i suoi vertici a distanza 

 infinita e gli angoli piani nulli. 



