— 68 — 



triedrometria che valgono, come è noto, anche per lo spazio non-euclideo (^). 

 Una discussione elementare semplicissima porta alla conclusione che l'unico 

 poliedro regolare della specie richiesta è in questo caso il dodecaedro regolare 

 con diedri (ed angoli piani) retti e della sua effettiva esistenza ci accerteremo 

 fra breve (n. 6). 



« Concludiamo intanto: Nello spazio non-euclideo sono possi- 

 bili soltanto due divisioni in poliedri regolari, e cioè quella 

 in ottaedri e quella in dodecaedri con diedri retti. Nel 

 primo caso i vertici del poliedro sono a distanza infinita e 

 gli angoli piani sono nulli; nel secondo gli angoli piani 

 sono retti. 



« Queste due divisioni sono per la spazio non-euclideo le analoghe alla 

 divisione in cubi dello spazio ordinario, l'unica qui possibile in poliedri re- 

 golari. 



a 4. Ci proponiamo di studiare i gruppi discontinui di movimenti dello 

 spazio non-euclideo che cangiano in sè medesime le divisioni in ottaedri e 

 dodecaedri regolari sopra indicate. Ciascuno di questi movimenti sarà rap- 

 presentato, al modo di Poincaré (1. e), da una sostituzione lineare sulla va- 

 riabile complessa z: 



(1) ^'=^ 



« Ai movimenti propri, che riproducono le dette divisioni, associamo 

 anche quelle riflessioni (Spiegelungen) che producono il medesimo effetto. 

 La combinazione di una tale riflessione coi movimenti (1) dà un movimento 

 di 2°- specie, nel quale ogni figura viene cangiata in una seconda inversa- 

 mente congruente. L'espressione analitica dei movimenti di 2^ specie è 



(2) - /=«^o + /5 



indicando ^Tq la coniugata di s. Indicheremo con r il gruppo di sostituzioni 

 di P specie (1) che cangiano la divisione ettaedrica in sè medesima e con 

 r' il gruppo analogo per la divisione dodecaedrica. Associandovi rispettiva- 

 mente le sostituzioni di 2^ specie (2) collo stesso effetto, otterremo i gruppi 

 ampliati che indicheremo con r , r' , nei quali r , r' saranno contenuti quali 

 sottogruppi eccezionali d'indice 2. Osserviamo poi che quelle sostituzioni di 

 r 0 di r' che lasciano fisso \m determinato ottaedro o dodecaedro della di- 

 visione formano un gruppo finito di 24 o di 60 sostituzioni e cioè l'ordinario 

 gruppo dell'ottaedro (o cubo) nel 1° caso, del dodecaedro (o icosaedro) nel 2°. 

 « 5. Ciò premesso, consideriamo nella seconda delle rappresentazioni al 



(') Ciò segue subito del resto dalla seconda rappresentazione (conforme) ovvero anche 

 dalla prima situando il vertice dell'angolo solido nel centro di figura. 



