— 70 — 



dal quale sia tolta la porzione interna alla sfera 

 4) + f + ^2 = 1 (fig. 3=^) 



Fig. S\ 



« Le riflessioni sulle quattro faccio di questa piramide sono le sostitu- 

 zioni elementari del gruppo T; esse hanno le rispettive espressioni analitiche 



1)2' = So , 2) s' = — So-{-i , 8)/ =2^0 , 4) / = - . 



« Come ho dimostrato in una delle mie Memorie citate in principio 

 (Math. Ann. Bd. 40 p. 361), con queste sostituzioni elementari si generano 

 tutte le sostituzioni di P e di 2^ specie 



ys -\-ci ' " ySo + à 



che hanno per coefficienti a , ^ ,y ,S dei numeri interi complessi di Gauss 

 e per determinante una delle quattro unità =t: 1 , =)= Dunque : Il gruppo 

 r che riproduce la divisione regolare ettaedrica dello spazio 

 non-euclideo, convenientemente orientata, coincide col gruppo 



delle sostituzioni |"''!| a coefficienti interi complessi di 



Gauss e a determinante. 



aò — §y = i^ (r = 0 , 1 , 2 , 8) 



« 6. Venendo ora alla divisione dodecaedrica e al gruppo r', cominciamo 

 dal costruire effettivamente, nella seconda delle rappresentazioni al n. 1, il 

 dodecaedro a faccio sferiche immagine del dodecaedro regolare a diedri retti 

 dello spazio non-euclideo. 



« Prendiamo nello spazio rappresentativo im icosaedro regolare di spi- 

 golo — l, pel quale adunque il raggio R dalla sfera circoscritta sarà dato da 



