e descriviamo coi centri nei vertici dell'icosaedro 12 sfere (Ji ,(J2 • ■ . di 

 raggio 



_ _Z_ 



ciascuna delle quali taglierà ortogonalmente le cinque circostanti. Il centro 0 

 dell'icosaedro, essendo R >> r, è esterno alle sfere e e descrivendo col centro 

 0 una sfera 2 di raggio 



questa taglierà ad angolo retto le 12 sfere e. Facciamo q = 1, pel che basta 

 prendere 



2|/ 2 4 _ 



l=j— , R = |/5 



y 1/5 + 1 



e prendiamo la sfera 2 come sfera limite della nostra seconda rappresentazione. 

 Il dodecaedro regolare a faccio sferiche racchiuso, entro 2, dalle 12 sfere e 

 rappresenterà il dodecaedro regolare a diedri (ed angoli piani) retti dello 

 spazio non-euclideo. _ 



» Per trovare le sostituzioni elementari dei gruppi r' , r' situiamo 

 attorno alla sfera complessa 2 (^) l'icosaedro nella posizione normale adottata 

 nel libro di Klein (^), cioè in guisa che uno dei 6 diametri dell'icosaedro 

 coincida coU'asse 0^ e uno dei vertici contigui al vertice 



si disponga sul piano ?C della parte delle ^ positive. Con tale orientazione 

 il gruppo delle 60 rotazioni dell'icosaedro in sè medesimo si genera colle 

 due sostituzioni elementari: 



ove 



£ ■= e ^ 



« Combinando colle due sostituzioni S , T di P specie la riflessione 



/ = ^0 



(1) Si vede subito che la sfera - è tutta interna all'icosaedro poiché il raggio 



,._. ;t/3(3 + t/5) 

 12 



della sfera inscritta nell'icosaedro riesce > 1. 



(2) Vorlesungen tiber das Ikosaeder, p. 39 sgg. 



