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si generano poi le 120 sostituzioni di P e 2^ specie del gruppo ampliato 

 dell'icosaedro. Queste sono altresì le operazioni che riportano in sè medesimo 

 il dodecaedro regolare costruito e per ottenere le sostituzioni elementari di 

 r' basterà semplicemente associarvi la riflessione sopra una delle 12 sfere o". 



4 _ 



Scegliamo fra le sfere tr quella che ha il centro nel vertice t — ^5 , ed os- 

 servando che il piano radicale di una sfera e colla sfera limite 2 dista dal 

 centro della lunghezza 



1 1 



troveremo per l'espressione analitica di questa riflessione: 



-^5 + 1 



(t/5-lk 



«Ne segue: Il gruppo r' di movimenti dello spazio non- 

 euclideo, che riporta in sè medesima la divisione regolare 

 dodecaedrica, convenientemente orientata, si genera colle 

 tre sostituzioni elementari. 



" Eispetto alla costituzione aritmetica di questo gruppo r', osserveremo 

 qui soltanto che le sue sostituzioni hanno tutte la forma 



[e 4^ — do ì a^/h + ^0 ) 



dove a , c , d sono numeri interi algebrici nel campo della radice quinta s 

 dell'unità e ao , bo , Co ., do indicano i loro coniugati. Invero le tre sostituzioni 

 elementari S , T , V hanno evidentemente questa forma ; d'altronde due sosti- 

 tuzioni qualunque della forma (3) si compongono nuovamente in una sosti- 

 tuzione di questa, poiché dalla formola 



j/5 = 2 (f + «4) 1 

 segue che |/5 è, nell'anzidetto campo di numeri, un'irrazionalità quadratica 



