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tività che alla curva C fa corrispondere un punto di S,j; colla costruzione 

 inversa ad un punto di S„ corrisponde una curva C su F. 



Nella corrispondenza fissata al sistema oo"-' delle curve C su F, che 

 passano per un punto, corrisponde una varietà : il sistema oo"-' ha comune 

 un sistema co"-^ con quel sistema oo"-' di cui le curve furono -proiettiva- 

 mente riferite ai punti di un S„_i in S„; infatti sono comuni ai due sistemi 

 le curve che passano per i due punti comuni risp. alle curve dell'uno a quelle 

 dell'altro : dunque al sistema oo"-' delle curve C di F per un punto, cor- 

 risponde una varietà che sega un S„_i in un S„_3 . Una tale varietà deve 

 comporsi di iperpiani (S„_i); ma essa non può essere spezzata poiché il si- 

 stema oo"-' di curve C corrispondente su F non può esser spezzato, invero per 

 n — 1 punti passerebbero altrimenti piìi curve C di esso appartenenti alle 

 varie 00"-^ costituenti il sistema ; dunque al sistema 00"-' delle curve C 

 di F per un punto, corrisponde un iperpiano in S„. 



« Dunque la corrispondenza stabilita tra le curve C del à^kio sistema 00" 

 su F ed i punti di S„ è proiettiva ; ossia, come appunto abbiamo enunciato 

 in principio, ogni sistema oo"(?2/>l) di curve irreduttibili su F è un si- 

 stema lineare. 



6, Il teorema dimostrato si estende senz' altro ai sistemi di varietà Mk_i 

 a K — 1 dimensioni contenuti in una varietà Mk a K > 2 dimensioni. Basta 

 infatti considerare una superficie sezione della Mk con un'altra qualunque 

 varietà (avente un numero di dimensioni opportuno), ed il sistema di curve 

 che sulla superficie vien segato dalle Mk-i. 

 " Così si ha il teorema generale : 



« Se sopra una varietà algebrica Mk si ha un sistema algebrico 00" 

 {con di varietà algebriche irreduttibili Mk-i , tale che per n punti 



generici della Mk passi ima Mk-i del sistema, il sistema stesso è un sistema 

 lineare (segabile quindi mediante un sistema lineare di varietà ad r — 1 

 dimensioni dello spazio S,ì cui la Mk appartiene). 



« 7. Mi sembrano opportune alcune considerazioni tendenti a mettere 

 in luce la natura del risultato stabilito in questa Nota. 



« Come è noto nella geometria proiettiva del piano il teorema dei trian- 

 goli omologici viene dimostrato 0 usando dello spazio S3 in cui il piano è 

 contenuto, 0 usando della teoria delle similitudini, e sembra diffìcile che possa 

 dimostrarsi facendo a meno di questi elementi 0 di altri equivalenti. 



« In altre parole sembra debba ritenersi che i postulati fondamentali del 

 piano che ordinariamente vengono ammessi (cioè « la continuità » ^ due rette 

 determinano un punto " « due punti determinano una retta " ) non sieno suf- 

 ficienti a fondare la comune geometria proiettiva del piano, mentre gli ana- 

 loghi nello spazio bastano a fondare la geometria proiettiva ordinaria dello 

 spazio. Se questa supposizione è giusta si potrebbe dire che in certo modo 



