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« In questa rappresentazione alle curve K di F' corrispondono nel piano 

 le rette generate dai fasci di raggi prospettivi coi centri A, B. Così si ot- 

 tiene una rappresentazione proiettiva della rete di curve K sulla rete delle 

 rette del piano, e quindi anche la rete delle curve C sulla F (la quale, se- 

 condo il § 3, è riferita proiettivamente alla rete delle curve K su F') viene 

 ad esser riferita proiettivamente alla rete delle rette del piano. 



" 5. Il teorema enunciato in principio è stato dimostrato per le reti: 

 ogni rete di curve irreduttibili è una rete lineare. Non sarà diffìcile esten- 

 dere questo resultato ai sistemi oo" (con n ^ 2). Supponiamo vero il teorema 

 pei sistemi (Xi'"^^ e dimostriamo che esso è vero per quelli oo". 



« Si consideri dunque sulla superfìcie F un sistema oo" di curve C ir- 

 roduttibili. Due curve G del sistema individuano un fascio (cfr. § 3) com- 

 posto di tutte le curve che hanno comuni gli stessi m punti comuni alle due 

 (essendo m il grado del sistema) ; ma par n punti ad arbitrio sulla F passa 

 una curva C del sistema, e per n — 1 un fascio di curve C, quindi m^ n — 1: 

 tra gli m punti comuni a due curve C n — 2 indipendenti individuano una 

 rete composta delle curve C che li contengono, quindi, (poiché la rete è 

 riferibile proiettivamente al piano (§ 4)) ogni fascio di curve determinato 

 da due curve C del sistema oo" è razionale (ossia è lineare). 



« Ciò posto si consideri una curva Co del sistema oo^~^ costituito da 

 tutte le curve C per un punto : ogni fascio di curve C contenente la Co ha 

 uiia curva comune col sistema oo"-i cioè quella curva del fascio che passa 

 pai punto scelto ; ogni curva C del sistema oo"-' determina colla Co un fascio 

 di curve C (razionale) contenente la Co . 



« Il sistema oo"-' di curve C si riferisca proiettivamente (come è pos- 

 sibile per ipotesi) ad un S„_i di S,» ; la curva Co si faccia corrispondere ad 

 un punto 0 di S„. (fuori dello S„). Ad ogni fascio di curve C contenente la 

 Co su F corrisponde in S„ ima retta per 0 (quella che proietta il punto di 

 Sn-i corrispondente alla curva C del sistema oo"-i appartenente al fascio) e 

 viceversa. Un altro sistema oo"-^ di curve C per un punto di F si faccia 

 corrispondere ad un altro S'„-i di S„: ogni stia curva C determina un fascio 

 colla Co ; a questo corrisponde in Sn una retta per 0 che incontra lo S'„_i 

 in un punto che diciamo corrispondente della C. Ora sopra ogni fascio di 

 curve C su F, contenente la Co , si hanno 3 cm-ve C determinate, cioè la Co , 

 e le due curve C appartenenti ai due sistemi oo"-' scelti ; sulla retta cor- 

 rispondente per 0 in Sn si hanno tre punti che ordinatamente corrispondono 

 alle tre curve, cioè il punto 0 e le intersezioni coi due S^-i : tanto basta 

 perchè sia fissata una corrispondenza proiettiva tra gli elementi (curve) del 

 fascio (che è razionale) ed i pimti della retta. Per tal modo nasce una cor- 

 rispondenza biunivoca tra le curve C del dato sistema co" su F ed i punti 

 di S„ . Una curva C determina un fascio insieme con Co , a cui corrisponde 

 ia S„ una retta per 0 ; tra il fascio e la retta risulta individuata una proiet- 



