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gruppi della involuzioue individuano una curva C che li contiene, cioè la 

 curva C individuata da un punto d'un gruppo insieme ad un punto dell'al- 

 tro gruppo. 



« Allora si consideri una oo- di punti corrispondenti biunivocamente ed 

 algebricamente agli elementi (gruppi) della involuzione : il luogo di questi 

 punti è una superficie algebrica F' riferita in corrispondenza [l.w] alla F: 

 alle curve C della rete appartenente alla F corrispondono sulla F' le curve K 

 d'una rete ; infatti per due punti della F' passa la curva K corrispondente 

 alla curva C di F individuata dai gruppi dell' involuzione che corrispondono 

 ai due punti. Sulla F due curve C hanno comune un gruppo dell' involu- 

 zione, quindi sulla F' due curve K si segano in un punto. La corrispondenza 

 fra le curve C e le K è proiettiva, cioè ad un fascio di curve C corrisponde 

 un fascio di curve K e viceversa. 



e Dunque è sempre possibile di riferire proiettivamente gli elementi 

 (curve) d'una rete appartenente alla superficie F, agli elementi (curve) d'una 

 rete di grado 1 sopra una superficie F'. 



^ 4. Sieno a, (i, due arbitrarie curve K della rete stabilita su F' : sieno 

 A , A' due arbitrari punti della curva a, B, B' due arbitrari punti della Vi 

 è una curva K della rete che passa per A, A' ed analogamente una per B, B' ; 

 queste s' incontrano in un punto 0 : vi è un fascio di curve K passanti per 0. 

 Le curve di questo fascio segano ciascuna in un punto le curve a, /?, rispet- 

 tivamente ; le curve a, §, vengono così riferite punto per punto (in modo 

 prospettivo) in tal modo che ai punti A, A' di « corrispondono i punti B, B' 

 di (ì. Dunque tra le curve (algebriche) «, e /?, vi sono oo^ corrispondenze 

 algebriche biunivoche ed anzi vi è una tale corrispondenza in cui a due 

 punti (arbitrari) A A' di « corrispondono risp. due punti (arbitrari) B B' di (i. 



f Si deduce (facendo il prodotto d'una corrispondenza per l' inversa di 

 un'altra) che ciascuna delle due curve a, /?, ossia ciascuna curva K, am- 

 mette 00^ trasformazioni biunivoche in sè stessa : tanto basta per affermare (') 

 che le curve K sono razionali. Parimente ogni fascio di curve K (di cui le 

 curve vengono riferite biunivocamente ai punti di intersezione con un'altra 

 curva K) è un fascio razionale (ossia lineare). 



" Allora si fissino sulla F' due fasci di curve K i cui centri sieno risp. 

 due punti A', B', e si riferiscano proiettivamente a due fasci di rette coi 

 centri A, B nel piano, in modo che alla curva K che passa per A', B' con- 

 siderata come appartenente all'uno o all'altro fascio corrisponda sempre la 

 retta A B. Così nasce una rappresentazione biunivoca della superficie F' sul 

 piano ; il punto sezione d'una curva K per A' e d'una per B' su F' corri- 

 sponde al punto sezione delle due rette del piano omologhe a quelle curve, 

 passanti risp. per A, B. 



(i) Cfr. Sclnvartz, <^ Crelle's L. 87, p. 140; e Noetlier^', Mathem. Ann., Bd. XX. 



