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l'altra che ad un iperpiauo di S,, corrisponde un sistema lineare oc"-' di 

 curye sulla F, immerso nel dato. 



« Per brevità chiamo sistema un insieme oo" di curve algebriche ap- 

 partenenti alla superficie F, il quale soddisfi alla condizione a) ; chiamo rete 

 e fascio rispettivamente un sistema oo' e oo^ Sorge la questione : 



« Esistono sistemi non lineari ? 

 In altre parole : La condizione b) è indipendente dalla a) o invece è 

 una conseguenza di essa ? 



« Posta cosi la questione si risponde subito assegnando effettivi esempi 

 di sistemi non lineari: è notissima la esistenza di superficie contenenti un 

 fascio irrazionale (il che equivale a non lineare) di curve, e basta conside- 

 rare sopra una tale superficie i gruppi di n curve del fascio per ottenere un 

 sistema oo" di curve certo non lineare. Ma questi esempi si riferiscono a 

 sistemi di curve o oo' (fasci), o oo" di cui la curva generica si spezza (nelle 

 n curve d'un fascio). È interessante di stabilire che questi sono gli unici casi 

 di sistemi non lineari, cioè che sussiste il teorema : 



t Un sistema algebrico oo" [con > 1) di curve algebriche irreclut- 

 tibili affar tenenti ad una su]i)erficie F, tale che n punti generici di F 

 individuino una curva del sistema che li contiene^ è un sistema lineare^ 

 segabile quindi mediante un sistema lineare oo" di superficie. 



" 2. Consideriamo sulla superficie F un sistema algebrico oo" (con ii^l) 

 di curve algebriche irreduttibili C; dico che due curve C generiche si se- 

 gano in un numero finito m di punti variabili coi parametri delle curve C. 

 Infatti, essendo /? ^ 1 , per un punto arbitrario della F passano due curve C 

 (tra le oo"-'), e quindi due curve C hanno almeno una intersezione varia- 

 bile; esse hanno quindi (per la algebricità) un numero finito di punti co- 

 muni (variabili) o un numero infinito ; ma nel 2° caso esse hanno comune 

 una curva componente e però si spezzano contro l' ipotesi fatta : dunque due 

 curve C hanno comune un numero finito m di punti (variabili). Questo nu- 

 mero m che rimane costante al variare delle due curve C (per la continuità), 

 si dirà il grado del sistema delle curve C. 



« 3. Sopra la superficie F si abbia una rete di curve irreduttibili C di 

 grado VI. Per definizione due punti generici della F individuano una curva C 

 che li contiene, quindi tutte le curve C per un punto formano un fascio 

 (§ 1) : due curve di un fascio hanno comuni gli m punti comuni a due di 

 esse, giacché per due punti della F passa in generale una sola curva C e 

 se ve ne passano due ve ne passano infinite ed inoltre un fascio non può 

 spezzarsi in più sistemi. Dunque tutte le curve C della rete che passano per 

 un punto di un gruppo di m punti comuni a due curve C, passano per gli altri 

 m — 1 ; questi gruppi di m punti in numero di oo- formano così una invo- 

 luzione, cioè un tale insieme che un punto appartiene ad un gruppo della 

 involuzione. Due curve C hanno comune un gruppo della involuzione ; due 



