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t 5. Siccome 6 punti individuano una cubica, quest'ultima proprietà ci 

 dice che la superficie si può immaginare generata dalle cubiche condotte per 

 5 punti fissi e per \m punto variabile di una retta fissa ; epperò si può enun- 

 ciare il seguente risultato che mette in evidenza la simmef-ria della super- 

 ficie rispetto al pentagono dei suoi punti tripli, cioè : 



" La superficie del 5° ordine, che stiamo studiando, è la 

 superficie luogo delle cubiche condotte pei vertici di un 

 pentagono gobbo ed appoggiate aduna retta fissa: la sua 

 curva doppia è allora quella fra tali cubiche che ha la retta 

 fissa per corda. 



" Utilizziamo questo risultato. Osserviamo dapprima che, dicendo (b) il 

 sistema delle cubiche di cui ora si è discorso, le cubiche di (b) si pos- 

 sono, due a due, distribuire, in 5 maniere diverse, in guisa 

 che esse siano su uno stesso cono quadrico col vertice in un 

 punto triplo. In fatti, dicendo (fi^ una di tali cubiche e (p ìì cono qua- 

 drico che la proietta da A; , questo cono avrà comune colla superficie la curva 



(ik) + (il) -i- (im) + (la) -h <fi^ -f- 9)2^ = y'" ; 



epperò, dovendo essere 4H-3 + 2/ = 10, sarà y — S, cioè (p^J^Kp^^. Mai?» 

 aveva con (p a comune il punto d'appoggio della (f>i^, dunque a si appog- 

 gerà anche (f ^^ ; ma (f ^^ passa per tutti i punti tripli, perchè per ciascuno 

 di questi /'"^ deve passare con 3 rami, due dei quali sono quelli di una 

 [ili) {h = k, l, m) e quello della (f i^ ; quindi, se ne conclude, che (f^^ e pure 

 una cubica del sistema {b). 



« Ora, considerando il fascio delle quadriche che ha per base (8) -ì- b, 

 una qualunque di queste quadriche taglia la superficie ulteriormente in una 

 cubica sghemba di {b)\ e questa, proiettata da A;, dà un cono quadrico. Vice- 

 versa, dato uno di questi coni quadrici, siccome esso taglia la superficie se- 

 condo due curve di {b), per mezzo della costruzione precedente gli vengono 

 a corrispondere due quadriche del fascio (8) + b. La corrispondenza fra i 

 coni del fascio A,(Aft , A^ , A^j , A„) e le quadriche del fascio (8) -h b che 

 così viene a porsi, per mezzo della superficie, è dunque una (1, 2) ; e noi ab- 

 biamo quindi, facendo che B, prenda la posizione di tutti i h punti tripli, 

 il seguente risultato : 



«La superficie può essere ottenuta in 5 modi diversi 

 per mezzo di un fascio di quadriche con base decomposta ed 

 un fascio di coni quadrici in corrispondenza (1, 2). 



« 6. Prima di trar profitto da quest'ultimo risultato, torniamo alla rap- 

 presentazione piana. Quanto si è detto al principio del numero precedente 

 intorno alla distribuzione, due a due, delle cubiche del sistema {b) ci mette 

 in grado di poter dire che le immagini di tali cubiche costituiscono in 5 modi 

 diversi una involuzione, e che tutte le 5 involuzioni così ottenute sono armo- 



