— 104 — 



niche ad una stessa della quale i raggi doppi e, / costitui- 

 scono, insieme ai lati del pentalatero 12. ..5, l'immagine 

 della cubica doppia (i). 



f I punti di e, /, due a due, l'uno su e, l'altro su /, rappresentano uno 

 stesso punto della cubica (8), e si corrispondono su queste due rette proiet- 

 tivamente. In fatti, poiché una retta qualunque del piano rappresenta una 

 quartica razionale della superficie, epperò la quartica ulteriore sezione di 

 questa con una quadrica arbitraria condotta per la (8), la quartica imma- 

 gine della congiungente i punti immagini di uno stesso punto della (8) avrà 

 in questo un punto doppio, e sarà quindi l'ulteriore sezione della superficie 

 col cono quadrico proiettante da quel punto la cubica (8). Ora nel sistema 

 dei coni quadrici che dai diversi punti di (8) proiettano la (8), ve ne sono 

 due che passano per un punto arbitrario dello spazio, ed in particolare per 

 un punto della superficie ; sul piano rappresentativo passeranno dunque due 

 rette ciascuna delle quali congiunge i punti immagini di uno stesso punto 

 della (8); vale a dire che l'inviluppo di queste rette è una co- 

 nica tangente ad e,f: questa conica è, evidentemente, tangente ai 

 5 lati del pentalatero 12.. .5 ; e, quindi, il problema della costruzione dell'im- 

 magine della cubica doppia si riduce a quello, quadratico, di condurre per B 

 le tangenti % 



7. È importante di osservare che, posto i?». (8) = E, F, il cono proiettante 

 da E, 0 da F, la (8) riesce tangente, lungo la (8), alla superficie. La sezione 

 ulteriore di questa con quel cono si compone, in fatti, della è e di una 

 cubica che passando per E, o per F, ed essendo circoscritta al pentagono dei 

 pimti tripli, coincide con la (8). Noi, dunque, possiamo intanto dire che 

 lungo la cubica doppia le due falde della superficie si com- 

 portano come quelle di due coni quadratici, dotati di una 

 generatrice comune, lungo la cubica loro ulteriore sezione; 

 0, in altri termini, ciò che fa lo stesso: l'inviluppo dei piani tan- 

 genti lungo la cubica doppia è l'insieme dei due coni qua- 

 drici: E.(8) = (E), F.(8) = (F); e di questi due coni l'uno è toc- 

 cato dall'uno, l'altro dall'altro dei piani tangenti in uno 

 stesso punto. Si capisce che, in questo enunciato si escludono i piani tan- 

 genti nei 5 punti tripli, i quali, in qualche modo, potrebbero anche dirsi tan- 

 genti lungo la curva doppia. Del resto, fra questi piani appartengono agli 

 inviluppi (É), (F) quelli tangenti lungo le generatrici doppie dei coni cubici 

 corrispondenti. 



« Un punto della conica J essendo l'intersezione di due tangenti infi- 

 nitamente vicine, le quartiche della superficie, con un punto doppio sulla (8), 



(') In generale, si ha che la cubica doppia di una superficie del 5° ordine, che ne 

 possiede, ha per immagine, sul piano rappresentativo, una ciirva del 7° ordine (cfr. Clehsch. 

 Math. Annalen, t. III). 



