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superficie una cubica che non incontra la retta /^ ma che incontra 5 delle 

 rette {ik). Noi, dunque possiamo, dire che all'in fuori dei sistemi già 

 descritti di cubiche sghembe la superficie ne possiede al- 

 tre 12, ciascuna delle quali è appoggiata ai 5 lati di un de- 

 terminato pentagono semplice formato col pentagono dei 

 punti tripli. Ognuno di queste cubiche è poi appoggiata in 4 punti alla 

 cubica doppia ed alla curva 



" Per una nozione più chiara della forma della superficie, oltre alle 

 nozioni precedenti, giova l'osservare che la superficie stessa è a falde reali, o 

 non, lungo la curva doppia secondochè B è esterno o interno a /i, cioè secon- 

 dochè b è una corda appoggiata in punti reali o in punti immaginarii alla (8). 



§ ni. 



B 9. Considerando il fascio di quadriche che ha per base la {^)-\-{ik), 

 e ragionando come nel n. 5 della mia Nota : « Altre proprietà della sup. ecc. » , 

 1. e, noi troviamo che la superficie si presenta come luogo delle intersezioni 

 degli elementi corrispondenti delle quadriche di quel fascio e dei coni cubici 

 (razionali) di un sistema di indice 2 in corrispondenza univoca, coni dotati 

 di 4 generatrici comuni, le [ik), {il), {im), (in) e di comune vertice A;. 

 Di fasci quali quelli di base {8)'+-{ik) ve ne sono 10, e per ognuno di essi 

 si hanno due sistemi di coni cubici, uno col vertice in i e l'altro col ver- 

 tice in k; noi dunque possiamo dare quest'altro enunciato che fornisce altri 

 modi di costruzione della superficie : 



«La superficie del 5" ordine con 5 punti tripli, ed una 

 cubica doppia, si può, in 20 maniere diverse ottenere, come 

 luogo delle intesezioni degli elementi corrispondenti di un 

 fascio di quadriche con base decomposta ed un sistema, 

 d'indice 2, di coni cubici razionali in corrispondenza uni- 

 voca. Questi modi sono coordinati, due a due, alle 10 rette 

 della superficie uscenti dai punti tripli. 



« 10. Procedendo ora come al n. 6 della mia Nota citata si ha che, cor- 

 rispondentemente ai precedenti modi di generazione, la superficie si presenta 

 in 20 maniere diverse come caso specializzato delle superficie del 7° ordine 

 a quartica doppia contenute nel tipo. 



/? 9^1 — A A 9>2 A>3 = 0 (y) 



ove fi , /o sono forme quadratiche nelle coordinate di un punto, 



e (fi , ^2 , ^3 sono funzioni cubiche omogenee delle quantità : 



Si = (/^}'^^), %=--iyc^'^x), %^{a^^a;) (10) 

 ed ove ui , ^i, Yìi '^i sono le coordinate dei vertici di un tetraedro arbitrario. 

 Senonchè, oltre alle condizioni in quella Nota enunciate, per la scelta delle / 

 e delle (p, ne occorre ora una nuova per le cp, ed è che i coni cubici 



(Pi = 0, (p2 — 0, 9)3 — 0 



