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le quali, rappresentano, con un numero soverchio di coordinate, una superficie 

 del 6° ordine, con 10 rette e 5 punti tripli, avente per sistema lineare rap- 

 presentativo, il sistema (contenuto nel sistema (13)) di equazione 



a,X^ — a^X, = (). (18) 

 Se, però, per la (16) si prende la y-^ — ^^ le (17) diventano 



yi = s^.^i — lÌ^.Zi (^"=1,... ,4) (19) 

 e queste rappresentano la stessa superficie, ma non più con un numero so- 

 verchio di coordinate. Ciò finché le (e -— 1 , ... 5) scelte sono qualunque; 

 ma se queste quantità sono i valori che prendono le 2 per le coordinate del 

 punto B del piano rappresentativo, allora il sistema (18) che ora è diventato 



^5 % — f 5 X, = 0 (20) 

 è composto di curve che passano tutte per B ; epperò la superficie rappresen- 

 tata dalle (19) è allora della specie che stiamo studiando. Se indichiamo con 

 a^xi b'x, — ,e'x ciò che diventano le , hx,...,ex per le coordinate di B, 

 noi abbiamo, in forma esplicita le seguenti formule di rappresentazione della 

 superficie : 



y\ = h\ . h X C X d X • bx Cx dx i^dx 6 X 0, X ^oo) 

 2/2 = hz ' Cb X C X d X ' tt» Cx dx {px C X b X ^x) 

 y^ = hz ' d X b X d X • dx bx dx (^Cx 6 X X Cx^ 

 y i = hi . tt X b X C X • dx bx Cx (^dx 8 X d x Cx) 



A queste formule, del resto, noi saremmo potuti giungere senza passare per 

 la superficie (14) dello spazio a 4 dimensioni, associando alla (13) la condizione: 



"Xxb xC xd xS x~\~^2d xC xd xC x~\~'^zO> xb xd xC x~\~^id xb xC xC x~\~^hd xb xC xd x"^ 0 



la quale, insieme alla (13), per eliminazione del parametro A5, avrebbe dato 

 precisamente il sistema lineare (20) che ci ha condotti alle formule (21). 

 Il metodo precedente è però più generale, e ci ofi're il vantaggio di fornire 

 le equazioni (19) di una superficie del 6° ordine di cui quella del 5° è un 

 caso di degenerazione. 



« Di formule, come le (21), se ne hanno evidentemente diversi sistemi, 

 e si deducono l'uno dall'altro per mezzo di trasposizioni. Corrispondentemente 

 ad uno stesso tetraedro formato coi punti tripli si hanno 4 di tali sistemi, 

 e ciascuno corrisponde ai 4 sistemi di cubiche sghembe della superficie (n. 4) 

 che, sistema per sistema, passano per tre dei vertici di esso. Siccome due 

 qualunque di quei tetraedri hanno sempre a comune tre vertici, così i sud- 

 detti sistemi di formule corrispondono ai primi 10 sistemi di cubiche della 

 superficie. 



f Quale è il sistema di formule che corrisponde all'IP sistema di cu- 

 biche che la superficie possiede ì 



« Ricordiamo che se si fissa una quadrica nel fascio (2), cioè se nelle (1) 

 si assegna un valore al parametro A.^, la cubica rappresentata dalle (1) è il 

 luogo dei punti allineati con h , e con i proprii corrispondenti nell'omografia 



