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risultante dal comporre la polarità rispetto alla quadrica (3) con la polarità 

 rispetto alla quadrica scelta in (2). Quella cubica perciò passa per tutti e 

 5 i punti tripli, ed è una cubica dell' 11° sistema. 



« Si può dunque assumere come sistema di formule comspondente all'I 1° 

 sistema di cubiche della superfìcie, uno qualunque dei 5 che si hanno dal- 

 l'ultimo teorema del n. 13; e dei quali uno è quello dato dalle formule (1). 



« 15. Noi vogliamo ora scrivere d'una maniera generale le formule di 

 questi 5 sistemi: lo faremo trasfoimando le formule (1): sarà facile poi, 

 dietro la costruzione data delle 5 reti corrispondenti, di scrivere quelle degli 

 altri sistemi. 



« Siano «j , , Yi , di , f j = 1 , ... , 4) le coordinate dei vertici del 

 pentagono dei punti tripli quando un tetraedro qualunque sia stato preso per 

 tetraedro di riferimento. Se supponiamo che f j sia quel vertice del pentagono 

 che prima rappresentavano con , noi potremo scrivere le (2) e (3) nella forma: 



Cu {§rSxY + {YccdxY + ^33 {ci§àxy + C44 {cc^yxf = 0 (22) 



V'i {§ySxY + xp2 {yccóxf -+- xpz {a^òxY + {cc^yx)- = 0 



ed allora^ operando come nella mia Nota : « Sulla superficie del 5° ordine 

 a cubica doppia e punto triplo » 1. e, noi dobbiamo porre le equazioni : 



vT^ = (Dn — 't)xx + D12 Xi H- Di3 Xz H- Di4 Xi 



= D21 Xi -h (D22 — X2-+- D23 ^3 + D24 

 rf 3 = D31 Xi H- D32 X2 + D33 — f) ^3 + (D44 Xi 

 VSi = D41 Xi -\- D42 Xz H- D43 Xì + (D44 — t) Xi 



ove ora è : 



D^s == Cir ipis H~ V2S + l/'ss + (jir V4S 

 V^mn=V^i {Mr,^{i3yd)n^xp2{yad),n{yad)n-^-^'z (a/?J)4a/?J)„+ xpi{a§y\, (a^y)„ 



e C„t„ è il minore complementare dell'elemento c^n nel determinante 



\(ÌMn\ = \Cn{^y(S),n{Mn-^C22Ìy(xd)Mc(à)n-hC33{(X^^^^ 



§ VI. 



«16. Dopo il problema della rappresentazione parametrica si presenta 

 quello di scrivere l'equazione della superficie. Questa equazione è già conte- 

 nuta nelle 20 del tipo (9), e nell'unica del tipo (12), a cui conducono i 21 

 modi di generazione di cui è parola nei n.' 11 e 12. Ma noi abbiamo anche 

 5 altri modi derivanti dalla proprietà stabilita nel n. 3 che lega la super- 

 fìcie col cono cubico tangente in uno dei suoi 5 punti tripli, e 10 altri modi, 

 5 dei quali sono subordinati ai 5 sistemi di formule analoghe al sisfema (1), 

 e 5 a degli enti connessi punto-piano di cui discorreremo nel paragrafo seguente; 

 e che provengono, sebbene non direttamente, dalla considerazione di questi 

 medesimi 5 sistemi di formule. In totale, dunque, 36 modi diversi. — Non 

 è mica nostra intenzione di dare tutte queste 36 forme diverse di equazioni, 

 ma come il tipo delle prime 21 è stato già dato (n.' 11 e 12) e quello delle 



