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stenza appunto di tre integrali primi quadratici indipendenti della equazione 

 delle geodetiche era già stata dimostrata dal sig. Darbous. 



« 4.° Esistono degli elementi lineari, che vengono determinati dall'au- 

 tore sotto la forma (1), pei quali la equazione delle geodetiche ammette due 

 e non più integrali primi quadratici indipendenti. 



14 Poiché dalla possibilità di ridurre e dalla effettiva riduzione di un ele- 

 mento lineare di superficie alla forma di Liouville dipende la soluzione di 

 alcuni importanti problemi (come il riconoscerà se una equazione di 2° ordine 

 ad invarianti uguali è armonica, e la integrazione delle equazioni delle geo- 

 detiche con semplici quadrature) io mi proposi di stabilire le conclusioni ne- 

 cessarie e sufficienti perchè un elemento lineare dato sotto forma qualunque 

 sia riducibile mediante uno o più sistemi coordinali alla forma di Liouville 

 e, nel caso affermativo, di determinare tutti i sistemi di Liouville, di cui esso 

 è dotato e trovai: 



« 1.° che non vi sono superficie, per cui l'ordine di infinito del numero 

 dei sistemi di Liouville sia maggiore di quattro e che questo numero si rag- 

 giunge soltanto nel caso delle superficie a curvatura costante; 



f 2." che non esistono superficie dotate di un numero oo^ di sistemi di 

 Liouville ; 



« 3.° che le superficie dotate di un numero oo- di sistemi di Liouville 

 sono applicabili sopra superficie di rivoluzione. 



« Di più ho stabilite le condizioni necessarie e sufficienti per la esi- 

 stenza dei sistemi di Liouville e dati i metodi per determinarli nei casi' seguenti: 

 « 4." che il numero dei sistemi stessi sia semplicemente infinito; 

 « 5." che esista un solo sistema di Liouville, risultando anche dai miei 

 metodi ciò, che era già stato dimostrato dal sig. Darboux, che cioè per un 

 dato elemento lineare il numero dei sistemi di Liouville, se non è infinito, 

 non può essere maggiore di uno. 



a Per riconoscere il perfetto accordo tra i risultati 1°, 2°, 3° e 4° del 

 sig. Kònigs ed i miei contrassegnati dagli stessi numeri d'ordine basta osser- 

 vare che il Kònigs, assumendo la espressione del ds^ sotto la forma 



A dx dy, 



prende come punto di partenza la nota equazione del sig. Darboux 



D) 2X ^ 3 r ^ + X" A = 2Y + Sr ^ + T'7, 



dx^ dx dy^ dy 



ogni soluzione della quale, purché X ed Y siano amendue differenti da o, 

 conduce ad un sistema {uv) di Liouville col porre 



che in ogni caso le soluzioni generali (XY) della equazione (D) sono fun- 

 zioni liìieari ed omogenee di un certo numero di costanti arbitrarie e che 



