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« In essa U è un polinomio in x del grado n, T un polinomio del grado 

 n — 1 



V — — - — ; e ponendo : 



dà 



T = + va, ^"-^ + ch x"-^ + - + a-, 



si ha : 



(3) U = {jix + (;j — 1) «i] — 1 9)' {x) TT' — <f {x) (TT" — T'^) 

 in cui 



T' = — T" = — • 



dx ' dx'^ 



« Che inoltre ponendo : 



V = [(2>^ + 1) ^ + 2 (« — 1) ai] — i 95' UU' — 9. {x) (UU"— U'^) 



si aveva identicamente : 



V — ^U- -1-1/2 UT^ -I- ^3 T* = 0 



della quale equazione potevasi dedurre una serie di relazioni fra i coefficienti 

 dx, «2 , «3 — del polinomio T e le /a , ; e da queste la equazione modu- 

 lare per mezzo di eliminazioni. Le formolo ottenute in questo modo sono 

 alquanto complicate, ed il sostituire nelle formolo stesse ai coefficienti del 

 polinomio T, la somma delle potenze delle radici dell'equazione T = 0 , come 

 fece Halphen, serve a semplificarlo e ad agevolare di qualche poco il calcolo 

 delle equazioni modulari. 



« S"*. Sostituendo nella equazione (2) il valore (3) di U, si ottiene : 



y = nx — 2*', — \ y'' (x) — — (f {x) [~\ 



essendo Si ^ — vai . Ora indicando con la somma delle potenze emmesime 

 delle radici della equazione T — 0 , si ha che : 



••- ''IH — 1 



e per ciò sarà : 



y-^nx- 2si — 19) {x) 2l,„ - • 



Halphen dopo avere dato questa formola, osserva (pag. 266) che il termine 

 costante nel secondo membro è : 



— 2si — 6s, + 8s, = 0 



che il coefficiente <SS. x h: 



n — 6so + = 1 essendo = ^ ^ 

 e che per ciò può scriversi : 



(4) y = x^>..n % 



essendo : 



(5) = 2 (2W -|- 1) S,n+l — l (2W — 1) i?'? — (m — 1 ) ^Cs Sm-2 • 



