Trattasi ora di determinare quali relazioni devono sussistere fra i coeffi- 

 cienti Qm perchè sia soddisfatta la equazione differenziale (1). Questa ricerca 

 rimase incompiuta nel citato frammento. 



a 4°. Dalla equazione (4) si deducono le seguenti : 



mentre dalla (1) ossia dalla : 



(a) yl,{y)^y'^^{x) 



si ottengono per successive derivazioni le : 



(b) V^'(j/) = 2/>(^) + /9)'(^) 



(c) xp" {y) y' = 2y"' <p (^) + Sy" g>' (x) + y' <p" (a^). 



Dall' eguagliare i termini costanti nei due membri delle equazioni (a) (b) si 

 ottengono le relazioni : 



12q2 — Y3 = — 93 — I602 



da cui 



28^2 =zY3 — (/3 



e : 



24oi — = 165»i — 12?j — ^-2 



da cui : 



20gi -- yi — (jì. 

 « La (e) conduce infine alle due relazioni generali : 

 {2m — 1) [(4»w -f- 5) ^2^+1 — \ {àm — 1) ^2 ?2m-i — (w — 1) ^3 ?2(m-i)] — 



m 



(6) 



m [(4m + 7) q-hm+i— j {^m -f 1) gz Qim — i (2m — 1) 93 Qim-i] — 



m 

 1 



per w = 1, 2, 3 ... . Per m = 1 si hanno così le : 



3(>3 = ?i' + 7^2ei 



11^4 = 3(»i (»2 + l P2 4- I (»i 



formolo già date da Halphen, ed i coefficienti Q3, q^, 05... si dimostrano 

 quindi funzioni di Qi, Qz, Qz, gz- 



« 5". Ciò posto ecco come le calcolazioni per la ricerca dell'equazione 

 modulare possono essere agevolate da questi risultati. È noto che per una 

 trasformazione dell'ordine questa equazione è del grado n della 

 forma seguente : 



f _|_ agz ì'^' + §g3 ì'^' + - = 0 

 essendo J = Si ed a, /?, ... coeflBcienti numerici. Ora dalla relazione (5) deducesi, 

 per la proprietà dimostrata rispetto ai coefficienti Cs, ?4, ?5-- , che le somme 

 «2, Sa S4... si possono esprimere in funzione di ^ Qi, Qz, gz, gs- Ma è noto 

 che le somme Sv+i, s^-^o, 5^+3,..., sono funzioni delle Si, «2,... s-,; e si 



