i coefficienti A, , A2 , A3 ... A„+i hanno i valori che si deducono dai se- 



guenti : 



A,-0 irA,r~ {n-\-l) 1.2.3 ...(2r- 2) \3.4/ 



(2r + l)A,,-,. - ^+1) 1.2.3 ...(2r-l) \Sa) 8 



« Questi valori facilmente calcolabili col metodo indicato da Halphen 

 negli indicati Fragments divers (p. 213) nella ipotesi di J = 0 , risolvono 

 nella sua generalità parte del problema, ma rimane intatta la ricerca della 

 funzione f{z). I polinomi F(^) hanno proprietà analoghe ai polinomi delle 

 formole di moltiplicazione, in quanto che quelli di grado superiore al quarto 

 si possono esprimere in funzione dei polinomi di gradi inferiori. Per esempio 

 indicando con <P2, (fs , 9*4 — polinomi in 2 della stessa forma dei polinomi 

 ìpz,tp3, ip4... delle formole di moltiplicazione; le equazioni modulari sono: 



perw = 3 ^3 = 0 per % — 5 (fi — ^ f^9'2 = 0 



e così via. 



« 8°. Si indichino con a; , Xi ,£C2 ... w^-i le radici della equazione T(^) = 0, 

 sieno cioè: 



/2oA /4(o\ /6(o\ /2v(o\ 



si avrà : 



2 



n — 1 ' ' ' 

 Ora rammentando la formola (^) : 



p {nu)^p (u) — — — — 



nella quale </'„_i , rpn , Vn+i sono polinomi in p (m), si ha che s potrà espri- 

 mersi con quei polinomi in funzione di a;. La ricerca della equazione modu- 

 lare può quindi farsi dipendere da quella delle equazioni per la moltiplicazione. 



« Consideriamo dapprima, per maggiore chiarezza, alcuni casi partico- 

 lari. Sia n =5 ; si ha : 



ti/3 



2 = -\- Xi) ed = x — essendo = 1. 

 n Ma dai valori di ipi , xpi , ipi si deduce che : 



quindi : 



(1) Halphen, Première Partie pag. 100-103. 



