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da cui l'equazione modulare 



5 



K 11°. I coefficienti e^, c^, Cs—, come la quantità Qz, ga, ó e le h, 

 k, m, possono esprimersi in funzione di c^, c^, Cs. Si hanno infatti le : 



Ci =■ 4tCi Cs — 3^2^ , <?5 = 3tf 1 Ci — 2ct Cz , tfe + ^ = 9^2 d — Scs^ 

 5 1 



Ci + SCi = 6tfo Cs — 5^3 Ci, Cs-{- Y^^Ci^ = ÌC2 Ce — 8^4* 



inoltre : 



= 12 (tfi* — ^2) , = — 4 (2(?i' — 3(7, + ^3) 



da cui : 



ó = 3^ 42 [3ci' 4- 6ci tf3 — 4^,3 Cs — 4.C2' — tfs^] 



ed infine : 



43 Cs^ , 33 Ci' , 9^2^4 — 8^3' 



Ci' ' ^~ 4* ^3^ ' Se' 



e la F {2) diverrà così una funzione delle Ci, C3. Calcolata questa fun- 

 zione, la equazione : 



fU) = 0 



e la equazione corrispondente della moltiplicazione condurranno al valore di 

 f{2) e quindi all'equazione modulare. 



« 12. Nelle formole precedenti si è posto: 



P' = — ^2 



per conformarci alla notazione di Halphen ; ma dimostrasi essere in generale : 



Questa formola conduce a stabilire la relazione esistente fra le equa- 

 zioni modulari denominate Jacobiane e le equazioni della moltiplicazione. 

 Infatti, indicando con 0 la radice di una delle prime equazioni, è noto essere : 



)''^=(-l)'^^«i7p"(^) («=1,2,....). 



* Supponendo, per esempio, w = 5 , trovasi essere : 



/i^ + lU— 1 



V" = — ■ ; ■ 



h 



e siccome pei valori dati sopra per ^2 , si ha : 



. ^2 _ h' 4- 12^=^ + 1 4/i^ — 12/^ 4- 1 



3 



j,3 h'{h'-{-llh-~l) 

 si ottiene la nota equazione : 



la quale può considerarsi siccome conseguenza della k = h della moltipli- 

 cazione " . 



