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" Essendomi occupato recentemente dell'argomento, sono riuscito a dimo- 

 strare che in fatto ogni invoiimone piana (d'ordine qualsiasi) è razionale. 

 Il metodo che ho seguito sarà esposto brevemente in questa Nota; per le 

 dimostrazioni diffuse dei teoremi qui enimciati, e per le notizie bibliografiche, 

 rimando il lettore ad un lavoro più esteso che sarà pubblicato in seguito. 



« Sia F ima superficie i cui punti corrispondono biunivocamente ai gruppi 

 di una involuzione I ; noi dobbiamo dimostrare che P è razionale. Ad ogni 

 curva di P corrisponde sul piano di I una curva la quale contiene oo' gruppi 

 di I, curva (come diremo) appartenente alla involuzione I ; e ad ogni sistema 

 lineare di curve su P corrisponde nel piano un sistema lineare (di curve) 

 appartenente alla I. La geometria sulla superficie P è intimamente legata 

 colle proprietà dei sistemi lineari di curve che ad essa appartengono. Ora 

 i più importanti caratteri di un sistema lineare |r| di curve su P sono: la 

 dimensione r del sistema, il genere n della curva generica r (o genere del 

 sistema), il grado J del sistema che è il numero delle intersezioni varia- 

 bili di due curve r generiche ; ed un ente che va sempre considerato insieme 

 con un sistema lineare \r\ (perchè invariabilmente collegato col sistema) è 



la serie (lineare di gruppi) caratteristica g^~^ segata sopra una curva 



A 



generica del sistema dalle rimanenti. Se diciamo normale un sistema |r|, 

 quando non esiste un sistema di dimensione superiore ma dello stesso grado /I 

 il quale contenga tra le sue curve le curve di |r|, è chiaro che la nostra 

 attenzione dovrà sopratutto rivolgersi ai sistemi normali giacenti su P, poiché 

 conosciuti questi, tutti gli altri sistemi (non normali) si possono ritener 

 come noti. 



« Ora una proprietà fondamentale di un sistema normale (cioè determi- 

 nato completamente dai punti base) giacente sopra un fiano (o sopra una 

 superficie razionale) è che la serie caratteristica del sistema è completa. Si 

 è quindi indotti ad esaminare in primo luogo se altrettanto accada sulla 

 nostra superficie P, e si trova precisamente il 



K Teorema P. — Ognisistemalinearenormalegiacentesulla 

 P ha la serie caratteristica completa. 



« Il teorema non è certo sufficiente per dimostrare la razionalità della P, 

 poiché anzi tutte quelle superficie che si sogliono considerare come regolari 

 (superficie generali di genere > 0), godono la stessa proprietà; all'incontro 

 le superficie anomale, ad es., le superficie per cui i due generi aritmetici e 

 geometrici sono distinti, tra le quali le rigate irrazionali, non ammettono 

 quella proprietà. 



« Ma si può fare una seconda osservazione : nel piano esistono (come è 

 noto) sistemi lineari normali i quali hanno la dimensione r superiore al ge- 

 nere TT (sistemi per cui la serie caratteristica è certo non speciale) ; accadrà 

 altrettanto sulla P? Orbene si dimostra il 



