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« Teorema IP. — Sulla F esiste un sistema lin ear e (normale), 

 il quale ha la dimensione superiore al genere; anzi in infiniti 

 modi si possono costruire sistemi di tal natura su P ('). 



« La proprietà contenuta in questo teorema spetta veramente anche alle 

 superficie rigate irrazionali, ma non appartiene alle superficie di genere supe- 

 riore a zero. Siamo quindi indotti a chiederci se le proprietà espresse dai 

 teoremi P e 11° siano sufficienti per dimostrare la razionalità della super- 

 ficie F ; questione interessante per sè, anche indipendentemente dal problema 

 sulle involuzioni. In realtà, quelle due proprietà sono sufficienti. 



« Indichiamo da ora in poi con |r| quel (o meglio un) sistema lineare 

 di curve su F, avente la dimensione r superiore al genere tt, sistema di cui 

 il teor. IP afferma l'esistenza; la serie caratteristica del sistema essendo com- 

 pleta (teor. I") e non speciale, il grado del sistema sarà = tt -f- r — 1 . Ora 

 per i primi valori di tt = 0, 1, 2 si riconosce direttamente che la superficie F 

 è razionale. 



(1) Un cenno sulla dimostrazione dei due teoremi. Considerando la trasformazióne 

 {n — 1, n — 1) che una involuzione I determina nel "proprio piano, trasformazione per la 

 quale un punto generico si muta negli n — 1 punti del suo gruppo (mentre certi punti 

 eccezionali, fondamentali, hanno infiniti trasformati), si osserva subito che due curve, 

 le quali abbiano lo stesso ordine e si comportino ugualmente nei punti fondamentali di I, 

 vengono trasformate in due curve di uno stesso ordine, che si comportano in uno stesso 

 modo nei punti fondamentali. Di qua segue che se un fascio di curve contiene due curve 

 appartenenti alla involuzione I, allora la curva generica del fascio (ha come trasformata 

 l'insieme di w — 1 curve del fascio stesso e quindi o) appartiene alla involuzione, oppure 

 la involuzione è ciclica; il teorema si estende subito ai sistemi lineari più ampli. Con 

 una lieve modificazione del ragionamento si dimostra poi che se in un fascio di curve, il 

 quale contiene una curva appartenente alla involuzione I, quei punti base che non cadono 

 tra i punti fondamentali di I, costituiscono uno o più gruppi della involuzione, allora' 

 od ogni curva del fascio appartiene ad 1, oppure un'altra sola curva del fascio appar- 

 tiene ad I, e la I in tal caso è ciclica. Ora si consideri sul piano di I un sistema li- 

 neare oo'"|C| appartenente alla I, il quale non sia contenuto in un sistema lineare più 

 vasto di curve aventi quell'ordine e quelle molteplicità (nei punti base) e tutte appartenenti 

 ad I. La serie caratteristica di | C | ha i suoi gruppi costituiti da un certo numero // di 

 gruppi di I, è una g^~^ ; fondandosi sul lemma precedente, si dimostra che la serie stessa 



non è contenuta in una serie (A > 0) i cui gruppi si compongano pure di J gruppi 



di I; e questo fatto non differisce da quello che è affermato nel teorema 1°. 



Quanto al teorema IP, si considerino nel piano di I le curve R' che sono le trasfor- 

 mate delle rette E ; le oo^ curve E -f- R' appartengono alla involuzione. Ora tutte le curve 

 che hanno l'ordine di E E', che si comportano come queste nei punti fondamentali di I, 

 e che appartengono alla I, formano un sistema lineare al quale corrisponde sulla super- 

 ficie F (imagine di I) un sistema lineare avente il genere n uguale alla elasse di I (numero 

 delle coppie di punti coniugati in I appartenenti ad una retta), e la dimensione uguale a 

 n -\- k-\-2, dove k è l'ordine della curva unita di I. L'esistenza di un siffatto sistema è 

 appunto affermata dal teorema II". 



