« Se TT ^ 2 si ricorre ai seguenti teoremi : 



K Teorema 111°. — La presenza del sistema |r| su F porta 

 con sè l'esistenza di un sistema oo'^-i \r'\ (aggiunto a |r|) il quale 

 sega sopra ogni curva ria serie canonica o'^"^ 



« Teorema TV". — Se la curva generica r' del sistema ag- 

 giunto ò irriduttil)ile, il suo genere n' è — 2; il sistema 

 aggiunto (come il sistema primitivo) ènormale, edhala dimensione 

 superiore al genere {n — l^n'). 



« Teorema V°. — Se la curva generica /"si spezza, lo spez- 

 zamento avviene in n — 1 curve razionali appartenenti ad un 

 sistema lineare 00^(1). 



K I tre teoremi ora enunciati danno un metodo di riduzione per dimo- 

 strare che la F è razionale. Infatti costruito il sistema \r'\ aggiunto a 

 se T' è riduttibile, si può subito concludere in virtù del teor. V°, che la F 

 è razionale; se r' è irriduttibile, il sistema |r'| (per il teor. IV°) lia le stesse 

 proprietà di |-r|, ma intanto ha il genere n' — 2. Ora se tt' = 0, 1, 2 

 la F è razionale; se no si costruisca il sistema \r"\ aggiunto a |r'|, al quale 

 sarà applicabile il teor. V" 0 il teor. IY° ; e così via. Dopo un numero finito 

 di operazioni si arriva certo a concludere che 



« Torema VP. — È razionale una superficie sulla quale 

 ogni sistema lineare normale di curve ha completa la serie 

 caratteristica, e sulla quale esiste inoltre un sistema lineare 

 di dimensione superiore al genere. 



(1) Dei tre teoremi qui riuniti il primo è il più impoiiante; ne abbozzerò qui la 

 dimostrazione, limitandomi al caso in cui le oo»""' curve di |r| passanti per un punto ge- 

 nerico di F non hanno in comune altri punti variabili col primo (nel caso opposto si 

 ricorre alla rappresentazione sopra una superficie multipla). Costruita nello spazio a r 

 dimensioni una superficie d'ordine n -\-r — \ riferita univocamente ad F, in guisa che 

 alle curve T di F corrispondano le sezioni della superficie cogli spazi Sr-i , si proietti la 

 superficie da r — 3 suoi punti sullo spazio ordinario Sa. La proiezione sarà una superficie 

 Fo d'ordine tt -|- 2 a sezioni piane di genere n. Ogni sezione piana ammette oo'^— ' curve 

 aggiunte d'ordine n — 1, ed una tra queste si può fissare assegnandone le ti — 1 intersezioni 

 con una retta s. Facciamo ora ruotare il piano della sezione intorno ad s, ed in ogni sua 

 posizione costruiamo la curva aggiunta che passa per quei n — 1 punti fissati su s. Leoo' 

 curve d'ordine n — 1 che così si ottengono, formano, come si dimostra subito, una super- 

 ficie d'ordine tt — 1 la quale sega Fo (oltre che lungo la curva multipla di Fo) in una 

 curva r'o d'ordine 2n — 2. Variando quei ti — l punti su s, la curva r'u varia descrivendo 

 un sistema lineare <x>'^~^; il quale si vede esser proiezione di un sistema oo'^-' di curve 

 T' d'ordine 2n — 2 giacenti sulla superficie di S^. Le curve T' segano evidentemente sulla 

 curva sezione di questa superficie (con un S^i generico) la serie canonica g^^~l_^ ; donde 

 segue, il teorema III". 



