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ordine (Cremona, Clebsch, Kiimmer, Noether) ('); infine sono stati classificati 

 e ricondotti a tipi i sistemi lineari di curve contenenti una data serie spe- 

 ciale, così i sistemi lineari semplici di curve iperellittiche, e quelli di cui 

 la curva generica contiene una g^.^ ed aventi una dimensione assai ele- 

 vata (2). 



" Ricerche simili non sono state fino ad ora intraprese riguardo ai si- 

 stemi lineari di superficie nello spazio; ho pensato perciò che valesse la 

 pena di occuparsi di alcune classi di tali sistemi, ed in questa nota espongo 

 i resultati a cui sono pervenuto relativamente ai sistemi semplici di super- 

 ficie le cui intersezioni variabili sono curve iperellittiche di genere 7; ^ 1. 

 Più in generale risolvo la questione dello studio delle varietà a 3 dimen- 

 sioni a cm-ve sezioni (degli Sr-2 in S^) iperellittiche di genere j9^1 (^). 

 A fine di non imporre alla ricerca limiti non necessari, ho dovuto premettere 

 lo studio completo delle superficie a sezioni (piane 0 iperpianali) iperellitti- 

 che, riguardo alle quali superficie è noto già un teorema del sig. Castelnuovo 

 (Circolo Mat. di Palermo, 1890) relativo solamente a quelle di genere nu- 



(') Cfr. Caporali, Sopra i sistemi lineari triplamente infiniti di curve algebriche 

 piane. 



(2) Cfr. Castelnuovo (1. e). 



(3) La condizione ^ > 1 sarà tacitamente supposta nel seguito del testo parlando di 

 curve iperellittiche. Per completare i risultati qui ottenuti restano da considerare i casi 

 particolari in cuijo = l 0 p = Q. Ma il caso^=l presenta notevoli difficoltà non ancora 

 superate (si pensi al dubbio circa la razionalità della varietà cubica di S4). Nel caso in 

 cui ^ = 0 si perviene invece senza difficoltà a ridurre a tipi i sistemi lineari semplici di 

 superfìcie le cui intersezioni variabili sono curve razionali. Accenno ai resultati. 



Una varietà di Sn a curve sezioni razionali si proietti da punti esterni in una V di S4. 

 Una superficie sezione iperpianale della V è una quadrica, 0 una rigata non quadrica, 0 una 

 superficie di Steiner del 4° ordine. 



Nel 1° caso la V è una quadrica, ed il sistema rappresentativo di essa su S3 (rap- 

 presentandola con una proiezione) è quello delle quadriche per una conica. 



Nel 2° caso si vede analogamente al § 3 di questa Nota che la V contiene un fascio 

 razionale di piani (classe di varietà studiata dal sig. Segre nel lavoro: Sulle varietà nor- 

 mali a 3 dimensioni composte di serie semplici razionali di piani. Accad. di Torino 1885); 

 la V si può rappresentare su S3 assumendo come immagini delle sezioni iperpianali un 

 sistema di superficie d'un certo ordine n con retta base (n-l) pia e (forse) altri elementi 

 base (cfr. Segre 1. e). 



Nel 3° caso la varietà V è del 4° ordine con retta tripla e tre piani doppi : essa con- 

 tiene quindi una congruenza di rette sezioni dei piani per la retta tripla : ma una superficie 

 di Steiner (sezione iperpianale di V) non può contenere una retta (semplice) senza ridursi 

 ad un cono del 4° ordine, onde si deduce che la V è un cono le cui generatrici proiet- 

 tano dal vertice i punti d'una superficie di Steiner: un tal cono è proiezione d'un cono 

 del 4" ordine (normale) di Sg le cui sezioni iperpianali sono superficie di Veronese (stu- 

 diate dai sigg. Veronese e Segre): siffatti coni di Ss non hanno invarianti assoluti, essi 

 possono dunque tutti rappresentarsi col sistema delle quadriche di Ss tangenti in un punto 

 ad un piano fisso (ciò che può vedersi anche direttamente). Cosi si può dimostrare il teorema : 



