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melico 0 (che riescono razionali). Così ho stabilito, e ciò mi sembra anche 

 per sè stesso non privo d'interesse, che ogni superficie a sedani iperellit- 

 tiche di genere p Ol) o contiene un fascio di coniche {ed è razionale), 

 0 è una rigata del genere p (§ 2). Basandomi su questo resultato riesco 

 ad estenderlo alle varietà di 3 dimensioni (e si potrebbe fare lo stesso per 

 quelle di r > 3 dimensioni) a curve sezioni iperellittiche, dimostrando che 

 esse contengono un fascio di quadriche (e son radonali) oppure un fascio 

 (serie semplice oo di piani. Dalla rappresentazione che si ottiene nel 1° 

 caso di quelle varietà su S3 (nel 2° esse sono irrazionali) desumo che ogni 

 sistema lineare .semplice di superficie le cui intersezioni variabili sono 

 curve iperellittiche può con ima trasformazione birazionale dello spazio 

 trasformarsi in un sistema di superficie d'un certo ordine n, con una retta 

 base {n — 2) pia, una curva base semplice incontrata in due punti variabili 

 ' dai piani per la retta, e {forse) altri elementi base. 



" 2. Si abbia in S3 dove può supporsi proiettata (da punti esterni) una 

 superficie F a sezioni piane iperellittiche di genere p O-l). In primo luogo 

 si osservi che se la F è razionale, sul piano rappresentativo di essa, il si- 

 stema delle immagini delle sue sezioni piane ha come aggiunto puro (cfr. 

 Castelnuovo » Accad. di Torino — Memorie 1891 — cap. Il 1) un sistema 

 00 ^'-1 di curve spezzate ciascuna in jt) — 1 d'un fascio, ed alle curve del fascio 

 corrispondono coniche sopra la F, dimodoché i punti coniugati d'un punto 

 generico 0 della F sulle sezioni piane per 0 appartengono alla conica del 

 detto fascio che passa per 0. 



e Ora si supponga (se è possibile) che i coniugati d'un punto 0 della 

 F sulle sezioni piane per 0 non stieno tutti sopra una medesima linea ma 

 descrivano tutta la superficie ; dico che se ne trae come conseguenza che la 

 F è razionale ciò che per l'osservazione precedente dimostra l'assurdità della 

 fatta ipotesi. 



« Invero nella detta ipotesi (supposta possibile) ogni punto A della F 

 è coniugato del punto 0 sopra im certo numero finito m di sezioni piane 



Ogni sistema lineare semplice di superficie segantesi due a due secondo curve ra- 

 zionali pud trasformarsi birazionalmente in uno dei seguenti: 

 \°) sistema delle quadriche per una conica; 

 2") sistema di quadriche tangenti in un punto ad un piano-, 

 3°) sistema di superficie d'ordine n con retta base {n — l)pla e (forse) altri ele- 

 menti base (v. Segre 1. e). 



Si può anche dimostrare che è semplice un sistema di superficie determinato dal 

 gruppo base le cui intersezioni sono curve razionali, se ha la dimensione >. 3 : questo è un 

 corollario di un teorema piìi generale concernente la normalità del sistema di curve che 

 le superficie d'un sistema determinato dal gruppo base segano sopra una superficie gene- 

 rica di esso. 



