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per 0, ed invece sopra ogni piano per 0 vi è un punto coniugato di 0 sulla 

 ciu'va sezione, dimodoché ad ogni piano per 0 corrisponde così un punto della 

 F, e ad un punto della F un gruppo di m piani per 0 : per tal modo i punti 

 della F vengono ad essere riferiti biunivocamente ai gruppi di una involu- 

 zione (di grado m) nella stella di piani col centro 0 (forma di 2^ specie); 

 tanto basta per concludere, in base ad un recentissimo teorema del sig. Ga- 

 stelnuovo (^), che la F è una superficie razionale come appunto avevamo 

 enunciato. E siccome abbiam visto che questo fatto contraddice all'ipotesi 

 da cui siamo partiti, si deduce che i punti coniugati del punto 0 sulle se- 

 zioni piane della F per esso descrivono necessariamente una curva. Un punto 

 A di questa curva è coniugato del punto 0 sopra tutte le sezioni piane della 

 F per OA, quindi la curva stessa è segata in un sol punto variabile dai 

 piani per 0 ed è perciò una curva piana C d'un certo ordine n col punto 0 

 (n— 1) pio. 



n Ad ogni punto 0 della F corrisponde una siffatta curva C e sussiste 

 la proprietà fondamentale che se la curva C corrispondente ad un punto 0 

 passa per un punto 0', la curva C corrispondente ad 0' passa per 0. Da 

 questa proprietà si deduce facilmente che deve essere n = l o n = 'ì: in- 

 fatti se n > 2 la curva piana C avrebbe almeno un punto doppio in 0, e 

 quindi il piano della C sarebbe tangente in 0 alla F ; per la nominata pro- 

 prietà dovrebbero allora passare per 0 tutti i piani tangenti alla F nei punti 

 della C, il che è assurdo giacché la C non può essere spezzata in rette per 

 0. Ciò posto si debbono distinguere due casi secondochè l'ordine della curva 

 C corrispondente ad un punto generico 0 della F vale n = l o n = 2. 



« P caso. ?i = 1. La curva C corrispondente ad un punto 0 é una retta; 

 ogni punto 0' della C ha come corrispondente una retta C per 0, ed essendo 

 0 un punto generico della F (che non é dunque un cono col vertice in 0) 

 tutti i punti 0' hanno come corrispondente una stessa retta C per 0, onde 

 la F è una rigata iperellittica (di genere p) e su di essa le rette G,C' sono 

 coniugate. 



" 2° caso, n = 2. Ogni punto 0 appartiene alla corrispondente conica C: 

 dico che tutti i punti d'una conica C danno come corrispondente la conica 

 stessa di guisa che le coniche C formano un fascio (e quindi la superficie F 

 é razionale). Suppongasi invero il contrario, cioè per ogni punto 0' d'una conica 

 C (corrispondente al punto 0) passi una conica C che corrisponde al punto stesso 0' 

 (nel senso indicato), diversa dalla C: tutte le oo ' coniche analoghe alla C (formanti 

 un sistema razionale) debbono passare per il punto 0, e poiché esse non giacciono 

 due a due in uno stesso piano, due siffatte coniche avranno comune un sol 

 punto variabile al più ; ma sia che le dette coniche formino un fascio, sia che 

 s'incontrino due a due in un punto variabile (nel qual caso pel punto generico 



(') Sulla razionalità delle involuzioni piane. Eend. Accad. dei Lincei, 1893. 



