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delia F passa un certo numero r^l di dette coniche), la superficie F deve 

 essere razionale; nel 1° caso per un teorema delsig. Noether ('), nel 2" perchè 

 i suoi punti vengono riferiti ai gruppi d'una involuzione oo ^ di grado v sopra 

 un sostegno razionale (la oo ^ delle coniche) ; la razionalità della F è invece 

 in contraddizione coli' ipotesi che le coniche C non compongano un fascio, per 

 im' osservazione fatta in principio. Per evitare la contraddizione dobbiamo 

 dunque ammettere che effettivamente le coniche C formino un fascio. 



» Le conclusioni a cui siamo pervenuti riguardo alla superficie F si 

 applicano in modo immutato ad una superficie a sezioni iperpianali iperel- 

 littiche in (r>-2), di cui la F sia proiezione da punti esterni; risulta cosi 

 stabilito il teorema: 



« Una superficie le cui sezioni {piane o iperpianali) sono curve iperel- 

 Uttiche di genere p'^1 è 



1°) 0 una rigata iper ellittica di genere p, 



2°) 0 una superficie razionale contenente un fascio di coniche. 



a 3. Nello studio delle varietà a 3 dimensioni di le cui sezioni 

 cogli Sr-2 sono curve iperellittiche possiamo supporre senza introdurre alcuna 

 restrizione che sia r = 4, giacché se r>4 si potrà proiettare la varietà (da 

 punti esterni) in S4. Kiferiamoci dunque alle varietà V di S4 le cui sezioni 

 piane sono curve iperellittiche. 



« Le superficie intersezioni della V cogli iperpiani (S3) di S4 avendo le 

 sezioni piane iperellittiche, sono rigate 0 contengono un fascio razionale di 

 coniche. 



" 1° caso. Ogni sezione ipei-pianale della Y contiene 00 • rette, ed ogni 

 retta è comune ad 00 - iperpiani e quindi alle loro sezioni, sicché sulla V 

 si hanno 00 ^ rette : per un punto della V passa un cono di (00 ') rette se- 

 gato in una retta da ogni iperpiano per il punto, quindi per ogni punto 

 della V passa un piano appartenente alla V : la varietà V contiene dunque 

 un fascio di piani, ed il fascio (come una sezione piana di genere pi) é 

 iperellittico di genere p. In questo caso é certo impossibile rappresentare 

 la varietà V punto per punto su S3; in altre parole la V non è razionale. 



« 2° caso. Si considerino due punti 0 , 0' coniugati sulla curva iperel- 

 littica sezione della Y con un piano generico n , e per i detti punti 0 , 0' 

 si conduca un altro qualunque piano n' : l'iperpiano determinato da n ,n' , 

 sega la V secondo una superficie a sezioni iperellittiche contenente un fascio 

 di coniche, sulla quale i punti 0 0' appartengono ad una stessa conica del 

 fascio ; dunque i punti 0 0' coniugati sopra una sezione piana generica della V, 

 sono in conseguenza coniugati sopra ogni altra sezione piana della V pas- 

 sante per essi e possono dirsi (brevemente) coniugati sulla V. Yi sono per 



(1) Ueber Flàchen welche Schaaren rationaler Curven besitzen. (Mathem. Ann. 

 Bd. III). 



