— 286 — 



un punto 0 della V co "* piani e su ciascuno di essi vi è un coniugato 0' 

 di 0 ; d'altra parte due punti coniugati 0 , 0' appartengono ad oo ^ piani, 

 quindi il luogo dei punti 0' coniugati ad un punto fisso 0 sulla V è una 

 superficie : un iperpiano per 0 sega questa superficie secondo la conica luogo 

 dei coniugati di 0 sulla sezione iperpianale, dunque la superficie stessa è 

 una quadiica. Così si vede come alla V appartengano oo ^ quadriche (almeno) 

 ciascuna corrispondente ad un punto (luogo dei coniugati di esso). Dico che 

 ciascun punto di una di tali quadriche ha come corrispondente la quadrica 

 stessa e però le dette quadriche formano un fascio. Invero si consideri un 

 punto 0' sulla quadrica corrispondente al punto 0 : allora la quadrica stessa 

 può generarsi come luogo delle coniche corrispondenti ad 0 sulle sezioni iper- 

 pianali d'un fascio per 0 0' ; ma tali coniche (luogo dei coniugati di 0 sulle 

 dette sezioni iperpianali) corrispondono anche (nel senso indicato) al punto 0', 

 onde colla medesima generazione si ottiene sulla V la quadrica corrispon- 

 dente ad 0' , la quale coincide dunque con quella corrispondente ad 0 come 

 appunto dovevasi dimostrare. Bimane così stabilito che se la Va sezioni piane 

 iperellittiche ha per sezioni iperpianali superficie razionali (caso che stiamo 

 trattando), essa contiene un fascio di quadriche, ciascuna luogo di oo* 

 coppie di punti coniugati sulla V; il fascio di quadriche così costruito 

 sulla V è razionale come l' involuzione g\ che esso determina sopra una 

 sezione piana. 



«. Ora, se accade che l'iperpiano contenente una quadrica del fascio 

 sulla V contenga altre quadriche del fascio stesso, possiamo trasformare 

 la V in un'altra varietà W contenente pure un fascio di quadriche di cui 

 due non stieno in uno stesso iperpiano ed in modo che le quadriche del 

 fascio sulla W e quelle sulla V si corrispondono una ad una proiettiva- 

 mente. Infatti basta per ciò riferire proiettivamente gli elementi (quadriche) 

 del fascio sulla V agli iperpiani per un piano tt in S4 , e proiettare ciascuna 

 quadrica sul corrispondente iperpiano da un punto 0 fuori di tt; il luogo 

 dei punti ottenuti è la varietà W riferita biunivocamente alla V nell'anzi- 

 detto modo. 



« Ciò posto una sezione iperpianale della W contiene un fascio razio- 

 nale di coniche e però possiede (secondo Noether) delle curve direttrici K 

 seganti in im punto ciascuna conica: vi sono dunque sulla varietà W delle 

 curve K seganti in un sol pimto ogni quadrica del fascio che essa possiede. 

 Allora preso in S4 un S3 si può rappresentare la W punto per punto su S3 

 proiettanto i punti di ciascuna quadrica del fascio dal punto intersezione di 

 essa colla curva K. Si ottiene in conseguenza la rappresentazione birazionale 

 della V su S3 , ed anche in questa rappresentazione (come in quella della W) 

 le quadriche del fascio appartenente alla varietà vengono rappresentate sui 

 piani d'un fascio, e ciascuna ha come immagini delle sezioni piane sul piano 

 corrispondente, le coniche d'un sistema co ^ con due punti base. 



