« Se queste si moltiplicano per a§y e si sommano, poi per ^ ry ^ e si 

 sommano, avuto riguardo alle due relazioni 



^al' = sen co 2^^' = cos co , 



si ottiene 



1 sen co 1 cos (tf 



e da queste si ricavano le altre due : 



sen 0) ^ cos m 1 



Q ^ ]/rq 



cos w sen co 



« Si scrivano le formole : 



= 0 



7) 



V ~ |//^ l>n l)s' ~ j/p^ Dra l\s' liti ' 



che valgono per la direzione cW coniugata di ds, e queste si moltiplichino 

 membro a membro per le 6), sommando quindi i risultati. Si otterrà: 



7 H r H r = , cos (tì ; 



7)s "^s Ds Ds /q' 



ma se R1R2 sono i due raggi principali di curvatura della superficie, si ha (') 



Ri K2 = rg' ~r' Q , 

 e la precedente relazione condurrà quindi alla seguente nuova espressione 

 della curvatura gaussiana. 



1 1 /dX dx DY dy , dz dz~ 



8) 



Ri R2 cos co 

 « 4. Dalle 6) e 7) si ricava: 



ds 1 ds' 



\ Ds Ds' Ds Ds' Ds Ds' / 



(^s ds' yr'Q' 



quando a ds si attribuisca il significato già detto, e con ds' si intenda ana- 

 logamente l'angolo fra le due normali alla superficie condotte per gli estremi 

 dell'elemento ds'. Se ai radicali si attribuisce il segno nel modo già dichia- 

 rato, gli elementi angolari ds ds' saranno da considerarsi negativi 0 positivi 

 secondo che le coppie di normali che li determinano convergono verso la loro 

 parte positiva, oppure verso la negativa. Moltiplicando membro a membro 

 le due relazioni, si ottiene quest'altra espressione semplicissima della cur- 

 vatura gaussiana: 



_1 ds (y_ _ 



^ R, R2 ^dsds' 



» Una espressione altrettanto semplice si può ottenere per la curvatura 



(*) Cfr. la mia Nota: Di alcune proprietà delle linee caratteristiche. Kendic. della 

 E. Acc. dei Lincei, voi. V, 1889. 



