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" J'ai été, par contre, très heureux de le voir parvenir par d'autres 

 moyens à une partie des résultats que j'avais obtenus. 



« Mais après avoir constate ce qu'ont de commnn nos recherches, il n'est 

 pas mauvais de voir en quoi elles diffèrent. 



« M'' Ricci a cherché les conditions C nécessaires et suffisantes pour 

 qu'un ds^ donne, de forme quelconque, admette une forme de Liouville ou une 

 infinite d'ordre c'est-à-dire, dépendant de n paramètres. Il a pu ainsi établir 

 que n est égal à 4 au plus et que les surfaces à courbure constante sont 

 seules dans ce cas ; que n n'est jamais égal à 3 ; que se n = 2 le ds^ con- 

 vient à une surface de revolution ; que pour certains ds^, n= 1. Mais M'" Ricci 

 se berne à trouver les conditions C. 



" Les conditions C étant alors supposées remplies, M'' Ricci indique quelles 

 intégrations il faudrait elfectuer pour trouver les formes Liouville que le ds^ 

 peut recevoir. 



« Le problème que je me suis propose touche de très près à celui-là; 

 cependant il en diffère totalement. J'ai en effet cherché à déterminer sous 

 forme explicite tous les ds'^ qui admettent une infinite de réductions à la 

 forme de Liouville. 



« Ce problème est équivalent à Ytntégration des équations de condition 

 trouvées par M"" Ricci. Seulement, au lieu de suivre la voie adoptée par 

 M"" Ricci, j'ai eu recours à l'équation de condition donnée depuis longtemps par 

 M"" Darboux au tome IP de ses Legoiis sur la théorie des surfaces. Si un 

 ds^ admet une infinite d'ordre n de réductions au type de Liouville, il doit 

 vérifier {n-{-l) équations de M'' Darboux. Tel a été mon point de départ. 



« Je me suis, il est vrai, placé au point de vue des intégrales quadra- 

 tiques. Le problème ne change pas, il est le méme que colui des formes de Liou- 

 ville; mais sous cet aspect il se présente bien mieux; le role des ds"^ de 

 révolution, celui des formes limites de M'' Lia s'expliquent ainsi bien plus 

 aisément. 



« Au fond, toute la difficulté du problème que j'ai traité, consistait dans 

 l'intégration d'une équatiou aux fonctions mélées. 



« La méthode indiquée par Abel pour l'intégration de ce genre d'équa- 

 tions n'aboutissant pas, j'ai dù recourir à l'étude directe de l'intégrale sur 

 l'équation elle-méme. 



t J'ai établi à cet effet un tbéorème général que je n'ai pas donné, il 

 est vrai, dans mon résumé des Annales de Toulouse, mais que l'on trouvera 

 dans les Comptes rendus de la Séance du lundi 20 novembre à l'Académie 

 des Sciences de Paris. Pour le surplus, je ne puis que renvoyer au résumé 

 que j'ai déjà publié. » . 



