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Matematica. — Alcune parole a proposito della precedente ri- 

 sposta del sig. Konigs. Comunicazioue del prof. Gregorio Ricci, 

 presentata dal Corrispondente E. Padova. 



K Nella breve Nota inserita in questi Rendiconti sotto la data del 3 set- 

 tembre 1893 io mi proposi soltanto di porre in rilievo come, malgrado l'ap- 

 parente diversità dei criteri, da cui il sig. Konigs ed io eravamo partiti nella 

 classificazione degli elementi lineari di superficie, i nostri risultati su questo 

 punto coincidessero perfettamente. Nella risposta, che si legge qui sopra, il 

 sig. Konigs ha voluto completare il raffronto tra i nostri due lavori ed io non 

 posso che compiacermene e sottoscrivere, quasi senza riserve, alle sue osser- 

 vazioni. 



« A mio avviso però i due problemi da noi risoluti non differiscono tanto 

 quanto può apparire a prima vista, e la differenza è grande soltanto nelle 

 vie da noi scelte per la loro risoluzione. Infatti il sig. Konigs si propone di 

 riconoscere tra tutti gli elementi lineari di Liouville quelli, per cui l'equa- 

 zione delle geodetiche ammette un numero m ^ 1 di integrali quadratici 

 indipendenti , e vi riesce dando sotto forma finita gli elementi lineari stessi 

 ed assegnando per ciascuno di essi il valore di m. Io mi propongo invece di rico- 

 noscere tra tutti gli elementi lineari di superficie quelli, per cui è > 1, 

 e risolvo il problema collo stabilire le equazioni di condizione, cui deve sod- 

 disfare la curvatura assoluta della superficie secondo i valori che m può assu- 

 mere. E si osservi che, posto il problema con questa generalità, non si poteva 

 pensare ad altra via, che a quella da me seguita, per cui partendo dalla 

 equazione integrale nota, che equivale alla ipotesi che l'elemento lineare sia 

 riducibile alla forma di Liouville, si perviene alle equazioni differenziali sopra 

 ricordate. 



<t La eleganza dei metodi e la importanza dei risultati dovuti al signor 

 Konigs, risultano evidenti anche dal semplice riassunto della sua Memoria e 

 sono stati riconosciuti da giudici eminenti. Però, senza voler fare confronti, 

 panni potere asserire che i nostri risultati si completano a vicenda e che il 

 problema da me risolto è fondamentale nella teoria delle geodetiche, poiché 

 dal punto di vista della applicazione di noti teoremi importa anzi tutto il 

 sapere se e come un dato elemento lineare di superficie sia riducibile alla 

 forma di Liouville. Per esempio, la risoluzione di quel problema riduce a 

 questione di semplici quadrature la integrazione della equazione delle geode- 

 tiche per tutte le superficie, per cui questa ammette un solo integrale qua- 

 dratico. Quanto alla scelta tra i due enunciati, sotto cui il problema, che 

 mi era posto, si poteva presentare, mi par chiaro che essa non poteva, per 

 quanto riguarda il problema stesso, influire, neppure per la forma, nei ri- 

 sultati finali. 



