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r arco AB e il suo prolungamento oltre B fanno risp. cogli archi AO , BO. 

 Questi angoli si intendono contati positivamente da AO (o da BO) girando 

 da sinistra verso destra fino ad AB (o al suo prolungamento). Chiamiamo poi 

 co r angolo di cui gira l' arco n) uscente da 0 per passare da OA in OB , 

 mentre la sua estremità percorre l' arco AB ; « sarà contato come positivo 

 se la rotazione ha luogo da sinistra verso destra, negativo nel caso opposto ; 

 e finalmente sia S l' area (positiva o negativa secondo la fatta convenzione) 

 chiusa dal triangolo OAB. jì facile vedere che w ed S avranno sempre 

 ugual segno e che la relazione (1) dà in ogni caso 



(2) S = ctì-{-e' — e, 



dove ben inteso si tenga conto dei segni di « e S nel modo che si è detto. 



c) È da osservare che, restando fisso l' arco AB e spostandosi in modo 

 continuo il polo 0, l' area S varia con continuità fino a che il punto 0 non 

 attraversa il cerchio massimo cui appartiene l' arco AB. Diciamo anlipodo 

 dell' arco AB, l' arco AiBi luogo dei punti della sfera diametralmente op- 

 posti a quelli di AB. È facile verificare che il valore di S subisce un salto 

 di 4tc quando il polo 0 attraversa l' anlipodo (^), mentre varia con con- 

 tinuità intorno a zero, quando 0 attraversa il cerchio massimo fuori dall' an- 

 tipode. Quanto ad w ,6 ,6' , essi possono anche subire variazioni discontinue, 

 ben facili a trovarsi, ma che qui non c' interessa di indicare. La relazione (2) 

 resta in ogni caso verificata. 



d) Consideriamo ora sulla sfera un poligono chiuso di cui i lati siano 

 archi di cerchio massimo, e sia stabilito un senso positivo sul contorno. In- 

 dichiamo i vertici con 1 , 2 , 3 ... ?z , e, assunto un polo 0 ad arbitrio, siano, 

 pel lato (r , r -}- 1) [^r , ^'r+i i valori degli angoli 6 , 0' definiti come sopra. 

 Chiamiamo angolo esterno (r) quell' angolo, minore di due retti, del quale 

 deve girare il prolungamento del lato (r — 1 , r) per coincidere col (r , r-\- 1). 

 Eiterremo (r) positivo quando la rotazione si compia da sinistra verso destra. 

 Si avrà: 



(r) = dr— d'r 



oppure 



(r) = er — tì'r ± 27r 



a seconda che nella ora detta rotazione si incontra o no l' arco (r) 0. La 

 somma delle relazioni analoghe alla (2) e relative ai vari lati del poligono 

 dà pertanto 



(3) 2S = 2/c7r — 2{r) 



(') E precisamente S varia da — 2n a. -{-2n quando il passaggio avviene da sinistra 

 a destra di chi percorra l'antipode nel senso AiBi . 



