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dove A è un numero intero positivo, nullo o negativo. Questa formola di- 

 mostra che, allo spostarsi del polo 0 , la S non può variare se non in modo 

 discontinuo. Ma d' altra parte, per ciò che si è detto, tali variazioni discon- 

 tinue non possono essere altro che di irt per volta. Ne segue che se 

 la 2S (ossia la superficie generata dall' arco <^ n che gira intorno ad 0 

 percorrendo colla sua estremità il poligono) vien detta area del poligono 

 sferico, tale area non potrà, al variare del polo, assumere altro che un 

 numero finito di valori, differenti fra loro di uno o più multipli di An. 



Nel caso di un poligono non intrecciato, questi valori sono due soltanto 

 che, indicati con e ^2 ('), e supposto danno — 22 = 47r. 



Si ottiene il primo piuttosto che il secondo di questi valori, a seconda che 

 il polo 0 si trova a destra piuttosto che a sinistra del contorno del poli- 

 gono antipodo di quello dato. 



Nel caso di un poligono intrecciato, si può mediante opportuni tagli 

 nei punti d'incrocio del contorno, decomporre il poligono in r poligoni a 

 contorni semplici e indipendenti fra loro. L'area 2S sarà allora la somma 

 delle quantità analoghe relative ai singoli poligoni semplici, e potrà quindi 

 assumere r-\-l valori diversi, i quali, indicando con 2 il più grande di 

 tutti, saranno 2,2 — in , 2 — Stv , ... 2 — irn . 



E finalmente se nella valutazione dell' area 2à facciamo astrazione, come 

 faremo per ora, da multipli della intera superficie sferica, possiamo concludere 

 dalla (3) che 1' area di un poligono sferico, definita come sopra, è indipen- 

 dente dalla posizione del polo. 



e) Supponiamo ora che, restando fisso il polo 0, il poligono sferico si 

 deformi in modo continuo. I due membri della (3) subiranno variazioni con- 

 tinue dovute al variare degli elementi del poligono, piii quelle variazioni 

 discontinue che saranno dovute al passaggio di qualche lato del poligono 

 antipodo pel polo. Ma tali variazioni discontinue non possono essere che 

 di rt 47r. Ne segue che, trascurando come si è detto i multipli di 47r l'area 

 di un poligono sferico non varia quando esso si deformi con continuità 

 in guisa che i suoi angoli esterni restino inalterati, e, beninteso, i lati 

 siano sempre archi di cerchio massimo. 



3. Considereremo superficie poliedriche per ogni spigolo delle quali pas- 

 sino non più di due faccio ed ogni spigolo congiunga due soli vertici. Di- 

 stinguiamo, in modo arbitrario, coi nomi di esterna ed interna le due bande 

 opposte dello spazio che immediatamente aderisce alle pareti della scatola 

 poliedrica, e per ogai faccia diciamo direzione positiva della normale quella 

 che va dall' interno all' esterno, e direzione positiva della rotazione quella 

 che va da sinistra a destra di un osservatore esterno. 



Posto che la superficie poliedrica si deformi nel modo detto al § 1, noi 

 terremo conto soltanto di quelle deformazioni che avvengono con continuità ; 



(') Sono, in valore assoluto, le due porzioni di superficie sferica, divise dal poligono. 



