— 23 — 



geodetica di tutta la poligonale sarà la somma delle flessioni geodetiche 

 nei singoli vertici. È facile vedere che, in ogni caso, 



è l'angolo (positivo o negativo, minore di due retti) di cui deve rotare lo 

 spigolo (r — 1 , r) per riuscir parallelo a {r,r-\-ì); ossia, per quel che 

 si è detto, /S'r — /^r è r angolo esterno (r) del poligono sferico che rappre- 

 senta la striscia contorno. 



Quindi, chiamando 2 la flessione totale della superfìcie, cP la flessione 

 geodetica totale della linea l , e ricordando la formola (3), avremo 



2=2krt — 2 (/?; - =: 2k7t — {§[ — §,) -{§', — — p,) 



ovvero : 



(4) 2=Un — (P 



dove y^: è 0 nullo oppure im intero positivo o negativo. La effettiva misura 

 della <!> può ottenersi così : Si separi la striscia contorno dal resto della su- 

 perficie e poi la si tagli lungo una linea t giacente p. es. nella faccia (1), 

 e la si distenda sopra un piano, in guisa che ogni faccia r , per adagiarsi 

 sulla consecutiva r -j- 1 , ruoti positivamente rispetto alla direzione positiva 

 dello spigolo {r ,r -\- 1). Siano l\ , t'i le posizioni assunte sul piano dai due 

 pezzi in cui il lato h è stato diviso dalla t. La (P non è altro che la somma 

 algebrica degli angoli esterni della poligonale sviluppata, percorsa a partire 

 da l'i per arrivare ad ove per valutare questi angoli esterni deve 

 tenersi la stessa regola data nel § 2 per gli angoli esterni di un poligono 

 sferico. 



6. Poniamo che il poligono sferico, corrispondente ad una data porzione 

 di superficie poliedrica, non sia intrecciato. In tal caso sì può con un' op- 

 portuna convenzione stabilire il valore del coefiìciente k nella formola (5). 

 Intanto, il poligono non essendo intrecciato, alla 2 possono attribuirsi sol- 

 tanto due valori 2i , ^2 differenti fra loro di An. Sceglieremo l' uno piuttosto 

 che r altro dei due nel modo seguente. Immaginiamo deformati con continuità 

 angoli e faccie del poliedro in guisa che la porzione considerata si riduca 

 tutta in un piano. Questa deformazione potrà, in infiniti modi, eseguirsi in 

 guisa che il poligono sferico resti costantemente non intrecciato; una delle 

 due regioni .^i , si annullerà al limite mantenendosi sempre positiva o 

 sempre negativa. Assumiamo come misura della flessione totale 2 quella 

 delle due aree 2^ ,2^ , che si riduce a zero col modo di deformazione ora 

 detto. E poiché al limite .2=0 , (t> = 2n:, così il valore di k nella (4) 

 sarà 1. D'altra parte, colla detta deformazione .2 e (P variano con continuità; 

 quindi k = l sempre e la (4) diverrà 



(5) 



2 = 2n — ^. 



