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Il caso di una superficie curva a curvatura ovunque positiva e quello 

 della superficie a curvatura ovunque negativa possono dedursi appunto dal 

 caso della superficie poliedrica, per ogni porzione della quale il poligono 

 sferico non riesce intrecciato. Basta supporre crescente senza limite, secondo 

 una determinata legge, il numero delle faccie del poliedro. La relazione (5) 

 diventa allora la nota relazione fra la curvatura totale di una porzione di 

 superficie e la curvatura geodetica totale del contorno. La (P è l'integrale 

 della curvatura geodetica del contorno, aumentato (se questo contorno pre- 

 senta dei vertici) deila somma degli angoli esterni, da contarsi positivamente 

 0 negativamente, secondo i casi, colla solita regola. 



Così per un triangolo geodetico ABC il cui contorno, secondo la con- 

 venzione del § 4 s' intende percorso in modo da avere a destra l' area da 

 esso racchiusa, detti A , B , C gli angoli interni, si ha 



^> = 7r — A-f-7r — B-f-TT — C 

 e la (5) conduce alla nota relazione 



^ = A + B + C — TT 



dove, s'intende, 2 sarà positiva o negativa secondo che la superficie è a 

 curvatura positiva o a curvatura negativa. 



7. Tornando alla poligonale considerata nel § 5, chiamiamo tv — / 

 l'angolo dei due lati li , I2; e siano Ai , A2 gli angoli che il piano /j 4 fa 

 colle faccie (1) (2) rispettivamente, e n — (12) l'angolo diedro fra queste 

 due faccie. La formola di Delambre 



cos|(A4-B) _ cos|(a + ^>) 

 sen -jG cos Y c 



applicata al triedro che ha per spigoli i lati Zi , 4 e la costola (12) dà 



(6) sen y • cos I (Ai + A^) = cos | (12) sen i (/?', — /^e) 



relazione che lega l' angolo in un vertice della poligonale colla corrispon- 

 dente flessione geodetica. Quando il numero delle faccie cresca all'infinito 

 in modo che il poliedro si trasformi in una superficie curva, allora 7(Ai-f-A2) 

 diventa l'angolo che il piano osculatore alla linea l fa col piano tangente 

 alla superficie mentre cos (12) diventa uguale all'unità, e la (6) conduce 

 alla ben nota relazione fra la curvatura geodetica e la curvatura ordinaria. 



8. Vediamo ora alcuni esempì semplici di superficie poliedriche deformabili. 

 Senza fermarci al caso più semplice della piramide aperta con numero 



di faccie maggiore di 3, considereremo due casi: 



a) Una superfìcie poliedrica aperta a faccie triangolari. Se S , V sono 

 ordinatamente i numeri degli spigoli e dei vertici e se C è il numero degli 

 spigoli del contorno è facile dimostrare che 



S = 3V — C — 3 . 



