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Poiché ora i coefficienti , Cn — Cn" sono costanti in Y, per la forma 

 trasformata di C(y), che potremo indicare con: 



(19) C(/) = cfis) + Cnef{z) + - + c». 6-f{z) , 



si avranno integrali la cui espressione algebrica rimane immutata qualunque 

 sia la varietà Vr che vien fatta corrispondere a V. Si noti però che, se 

 y\ lìjì-, ••• Un è un sistema fondamentale della (19), ed è ju. una radice pri- 

 mitiva ?^esima dell'unità, nel quadro: 



Vii y% ■> ••' 1 yn 



,,(n—\)Xj, ,,(n— 1)35,, ,,(n—ì)x,, 



r y 1 ' " 1 ••• ir yn-, 



una qualunque delle linee ci dà ancora un sistema fondamentale della (19), 

 e tutte le rì^ funzioni ivi contenute formano un sistema fondamentale della (18). 



7. Dal modo stesso con cui la C fu definita risulta che se una funzione 

 è integrale della A, quando il campo V di variabilità si riduce ad una qua- 

 lunque delle V,., é anche integrale della (19). Voglio ora dimostrare che 

 le forme k.{ij) , G{f) hanno sempre, nel senso ora indicato, almeno un si- 

 stema fondamentale di integrali a comune. 



Ed infatti, perchè im sistema tp^ , (fj. — ffn-i fondamentale per la A, non 

 lo sia per C, occorre che fra i suoi elementi passi una relazione della forma : 



y • ^ Cr,s (^'"'^ . 9>s = 0 con Cr,s costauti in V 



cioè : 



«—1 w— 1 



^ ;U''^ ^ Cr,s (ps = 0 . 



r=0 s=0 



Poiché ^ Cr,s <Ps è ancora un integrale di A ; tutto si riduce a provare 



che non per qualunque sistema fondamentale di A è possibile una rela- 



n-I 



done identica della forma ^ jw*"^ = 0. Se questo fosse, presi due sistemi 



fondamentali , y\ yn-i ,yo , y'i — y'n-i , con un elemento comime, ed i ri- 

 manenti diversi, potrei sempre fare in modo che, in quelle identità che sup- 

 pongo aver luogo sia per l' uno che per l' altro dei due sistemi, fossero eguali 

 i coefiBcienti di i/o , ed allora, dalle due : 



yo + fi^'yi H h yn-i = o , + iwYi H h f^'""''' y'n-i = o , 



si ha, sottraendo: 



yi - y\ + - y'2) + - + fi'"-''^ (yn-i — y'n-ù = 0, 



