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funzioni di S' è aggiunta della operazione distributiva ed a determina- 

 sione unica A apj^Ucata alle funzioni di S, quando è identicamente'. 



(1) (A(^') , /) = (9 , A(/)) . 



Questa definizione comprende quelle, che ordinariamente si danno, di 

 forme lineari, differenziali od alle differenze, aggiunte di forme date, come 

 casi particolarissimi, e le proprietà generali, e le relazioni reciproche di due 

 operazioni aggiunte, sono analoghe a quelle che furono trovate in quei casi 

 speciali. 



2. Se vogliamo che la operazione A coincida con la sua aggiunta, dob- 

 biamo anzitutto supporre che essa sia applicabile sia alle funzioni di S che 

 a quelle di S', ed in secondo luogo dobbiamo ammettere che gli sviluppi in 

 serie di potenze di D : 



(2) ' _ i-lY ^ X ^'^ 



non differiscano che per un fattore costante k. 



La condizione per la coincidenza di una data operazione con la sua 

 aggiunta può dunque essere espressa con le relazioni identiche: 



k (— 1)" cc,,{x) J)\if>) = D»(a„(^) . (p) . 



0 dalle altre: 



D(a„(^)) = 0 



(3) 



C(H = k (— 1)" «n. 



Occorre cioè che tutte le , nello sviluppo (2), sieno costanti per la ope- 

 razione D, ed il fattore k deve essere eguale « =t 1. 



Di qui ne viene che si possono distinguere due tipi di operazioni 

 coincidenti con le loro aggiunte: 



Diremo del primo tipo quelle che corrispondono a A = 1 e sono diret- 

 tamente eguali alle loro aggiunte poiché, dalle (2) e (3), si ha identica- 

 mente : 



(4) k{ip) = J{cp) . 



Gli sviluppi in serie di potenze di D per queste operazioni sono della forma 



(5) AW=I|SD-{5P). 



(') Cfr. Pincherle, Mém. sur le calcul fonctionnel, § 77. (Mat. Ann., Bel. 49); Sulla 

 Op. Aggiunta, n. 10. 



