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La espressione di una forma alle differenze per mezzo del suo quadro Q 

 cambia secondo che si intende che la variabile indipendente, rispetto a 6 , 

 sia la X , 0 sia il numero d'ordine n dei termini della serie di potenze che 

 definisce la funzione (p (x). Le proprietà formali della operazione rimangono 

 però le stesse in entrambi i casi. 



Nel primo caso infatti si ha: 



(22) A(^") = Uo X" + «1 (^ + 1)" + - + dm [x + ot)"'' 



;,=o \li / 7i=o 



Dunque. 

 (23) 



ttnn = 0 , k '':>%. 

 1 , 0 , 0,... 

 (Q) ] Z han ^tth 0 , ... 



^ h-an 2^ han 0 , ... 



Per la coincidenza della A con la A dovremmo dunque avere : 



(24) ( ? ) Z a =- 0 , n^h. 



Si vede facilmente di qui che si avrebbe identicamente 



(25) ai — ciz^ ■■• = Um — Oo 

 e la A si ridurrebbe alla operazione normale: 



(26) N^" = ao(^),»". 



La ricerca delle forme che coincidono con il prodotto della loro ag- 

 giimta per una determinata potenza della B si fa meglio ponendosi nel se- 

 condo caso, considerando cioè la operazione 0 riferita agli indici dei termini 

 delle serie da studiare. 



La operazione A è così definita dalla relazione: 



(27) k{x'') = ^"(«o(.c) .2?™ + ch{x) x"'-' -\ \- a.,n{x) ) 



ed è quella stessa studiata dal Pincherle nella sua Nota: Di una estensione 

 del concetto di divisibilità per un 'polinomio ('). 



(') Questi Eendiconti, seduta del 3 aprile 1898. 

 Rendiconti. 1898, Voi. VII, 2" Seiu. 



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