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nella detta varietà anche le serie, che non convergono in nessun punto del 

 piano della variabile complessa. È evidente che questa varietà ad infinite di- 

 mensioni è uno spazio lineare. I coefficienti delle serie si potranno dire coor- 

 dinate degli enti che si considerano, e gli enti ^P"*"" {n — — oo — [- °° ) ^^^P" 

 presenteranno la figura di riferimento di tale sistema di coordinate. 



Indicando con (p un ente generico dello spazio Vp , considero un' opera- 

 sione distributiva L, che goda delle proprietà indicate dalle due equazioni 

 simboliche 



a) li{x(f) --= T>li{(f) 



b) xHcf) = - LD(95) , 



dove il simbolo D rappresenta l'ordinaria operazione di derivazione. 



Si ammetta per ora 1' esistenza di una siffatta operazione, che, antici- 

 pando una denominazione, che sarà giustificata in fine alla presente Nota, de- 

 signerò col nome di trasformazione di Laplace. 



Ricordando la definizione di derivata funzionale di un'operazione distri- 

 butiva (') e indicandola con un accento, si ha dalle a) , b) che la derivata 

 funzionale della operazione L è legata all' operazione stessa dalla relazione 



L' = LD + DL . 



Per combinazione delle due equazioni a) e b) si ottiene 



e) Jjx'^ D"9) = (— 1 )« D"' a;" . 



Infine con iterazione e successiva combinazione delle a) , b) si ottengono 

 i tre sistemi di equazioni simboliche 



(1) L\x(f = — xl?(f , L^D^)^ — 



(2) P^93 = — DP(f, PD^ = x\^'(p\ 



(3) L^«g3 = ^L*9), L'D^) = DL^ ; 



che esprimono proprietà delle operazioni L- , , rispettivamente. 



2. Per riconoscere se esiste effettivamente un' operazione, che renda sod- 

 disfatte le equazioni a) e è), e per costruirla su ogni ente di Vp , cerco quale 

 sarebbe l' effetto prodotto da essa sugli enti fondamentali a;^-^^{n— — 00 — [- 00 ). 

 Seguendo le notazioni del Pincherle, pongo L(^™) = ^m{x). Sostituisco ^P"*"""^ 

 a (f nelle a) e 1^), e ottengo per li^^n{x), funzione dell'indice intero n e della 

 variabile complessa x, il sistema di equazioni miste differenziali e alle dif- 

 ferenze 



{') Pincherle, Mémoire sur le cale, fonct. distr., Gap. II, §. 56. 



