Integrando questo sistema si ottiene 



dove al solito con r(n) si indica V integrale euleriano di seconda specie. 



3. Da quanto precedasi deduce facilmente qualche notizia sulla natura del- 

 l' operazione Ho 



L^(.«P+") = L(?p+„) = e-""' r(Q -\- n -\- 1) r{— Q — w)^P-^" . 

 Ma, per una ben nota proprietà della funzione r, sussiste l' eguaglianza 



r(e + ^ + 1) r(- g-n) = {- ir > r(Q) r{- g-i): 

 ne discende 



Poiché non si riguardano come distinte due operazioni distributive, che 

 differiscono per un' operazione di moltiplicazione a moltiplicatore costante, 

 posso concludere che: 



JVello spazio Vp l' operazione coincide con V operazione S_a; di sosti- 

 tuzione, per la quale S_a; y){a;) = (f { — w). 



Ne risulta che, nello spazio Vp, la L è commutabile con la S^cc- 



Della si ottiene agevolmente lo sviluppo in serie di potenze intere 

 e positive della D, applicando il metodo dei coefficienti indeterminati. Si ri- 

 cordino invero le equazioni (1), le quali esprimono proprietà della : e in 

 esse si sostituisca uno sviluppo 



00 



n=o 



dove a„(^) è una funzione, da determinarsi, dell'indice intero positivo n e 

 della variabile complessa x. Per essa si ottiene il sistema di equazioni miste 

 differenziali e alle differenze 



{n -\- 1) «n+i -f- 2xa„ — 0 

 Dan -{- 2a„_i — 0 , 



il cui integrale è dato da cc„(a;) = { — ly ~ a^, w^: «o e costante arbitraria. 



• 



Scelto «0 = 1, ottengo per lo sviluppo 



00 on. 



L^=^ (— 1)" - X" D" . 

 ni 



Dall'osservazione fatta dianzi risulta ancora che: 



Za operazione L è, nello spazio Vp , ciclica dell'ordine 4. 



Ekwdicowti. 1898, Voi. Vn, 2» Sem. 16 



