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Dall' eguaglianza simbolica L* — 1 discende (') 



Poiché la L, come appare chiaro dal numero precedente, è nello spazio 

 Vp a determinazione unica, 1' ultima eguaglianza ci dice che la operazione L-', 

 inversa di L, è essa pure in quello spazio a determinazione unica, e, quindi 

 che la trasformazione di Laplace non ammette radici entro lo spazio Vp . 



Ricordo da ultimo le equazioni simboliche (2): con un procedimento ana- 

 logo a quello seguito al n. 2, ottengo per gli enti ?p^.„(a?), relativi ad = L~' 

 in Vp , r espressione 



?p^„(^) = r{Q-]-n-\-l) a;-'?^--^^ . 



4. Le asserzioni dei n. 2 e 3 non restano valide per qualsiasi valore 

 del parametro g. Poiché l' integrale euleriano di seconda specie ammette come 

 punti singolari tutti i punti del piano complesso, a cui sono affissi numeri 

 interi negativi, l' espressione assegnata al n. 2 per l' ente JpH.„(.'tf), relativo 

 alla L, perde ogni significato per i valori n = — k — 2, — k — 3, — k — 4,... 

 dell' indice, quando sia q — k , per k intero (positivo o negativo) : cioè la 

 determinazione dell' operazione L, fissata al n. 2, viene a mancare in infiniti 

 •punti di ciascuno spazio Vp, pel quale il parametro abbia un valore intero. 

 Basterà evidentemente considerare a parte lo spazio Vo delle serie di Lau- 



00 



rent ^ anO^n , al quale, come é chiaro, si riducono tutti gli spazi Vp a para- 



n= — co 



metro intero: ma io qui considererò più in particolare lo spazio Vo, che si 

 ottiene da Vo , togliendone gli enti fondamentali e = 1. In tale spazio 

 il sistema (4) si riduce al sistema 



(«=-»■-. -2. 2. 3 ») 



il quale è soddisfatto dalle espressioni 



\ ^ (j^_iy_ = 2 , 3 , ... , oo) 



f f„(^-) = (_ 1)« n ! A-"^-^'' (rt = 1 , 2 , ... , oo) . 



Queste perciò definiscono entro Vo un'operazione, a determinazione unica, 

 soddisfacente alla definizione della L. Si verifica senza difficoltà che tale ope- 

 razione gode in Vo della proprietà, di esser ciclica d'ordine 4 (^). 



(1) Quest'eguaglianza si poteva dedurre direttamente, osservando che le equazioni (2) 

 coincidono con quelle, che dalle a) , è) si deducono per la operazione L~' • 



(2) Mi riserbo di tornare in altra occasione sulla definizione di L entro l'intero spazio Vo 

 delle serie di Laurent. Intanto non sembri troppo arbitraria la modificazione introdotta 

 dianzi in tale spazio. Lo studio del sistema (6), considerato per tutti i valori interi del- 



