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5. Prima di procedere oltre osserverò che la scelta degli spazi Vp non 

 è collegata in modo necessario con la definizione dell' operazione L : anzi, in 

 ultima analisi, le sole proprietà di tali spazi, che stanno in relazione essen- 

 ziale con la natura dell' operazione dianzi studiata, sono la linearità e la 

 invarianza, in guisa che noi possiamo, senza che mutino i caratteri e le pro- 

 prietà dell' operazione L, considerata in sè medesima, sostituire a quegli spazi 

 altri spazi di funzioni, purché siano lineari, ed invarianti rispetto alla L. 



6. Accanto ad ogni operazione distributiva A, si può considerare un' altra 

 operazione A, che fu detta aggiunta della prima (^), e che, nel caso, in cui 

 r operazione distributiva data sia una forma dilferenziale lineare, si riduce 

 alla solita aggiunta di Lagrange. 



Volendo studiare 1' aggiunta L di L, debbo anzitutto accennare al modo, 

 in cui è stata definita in generale l' aggiunta di un' operazione distributiva. 

 Dato uno spazio, il quale sia lineare e invariante rispetto all' operazione A 

 che si considera, e, di più, contenga insieme con ogni suo ente (f anche 

 r ente xcp, si suppone definita in qualsiasi modo un' operazione, che sia ap- 

 plicabile ad ogni coppia , / di enti dello spazio dato: si indica con (9 , /) 

 e si ammettono per essa le seguenti proprietà: 

 a) di essere a determinazione unica; 



§) di essere distributiva tanto rispetto ad / che rispetto a (p; 



y) di essere tale che se, per ogni funzione / dello spazio, si ha 

 {(f , f) = {fi , /) ne debba risultare ^ — - , e se, per ogni funzione (p si 

 ha {(p , f) = {(f , fi), ne debba risultare f—fi', 



l'indice, porta a concludere l'esistenza di due rami di operazione, che soddisfanno bensì 

 alle equazioni a) e b), ma non trasformano in sè stesso lo spazio V», e perciò non godono 

 di gran parte delle proprietà dimostrate precedentemente per la L negli spazi Vp. Di 

 questi due rami l'uno trasforma lo spazio S'{x~'^ , x-'' , ... , x~'^ , ...) delle serie di potenze 

 intere negative, prive di termine costante, nello spazio S(l ) delle serie 



di potenze intere positive, e ammette come radici gli enti 1 , x , x^ , ... e quindi tutti gli 

 enti dello spazio S: l'altro è a determinazione multipla, in quanto ad ogni funzione ne fa 

 corrispondere infinite, differenti fra loro pel valore di una costante additiva arbitraria, e 

 trasforma lo spazio S nello spazio S'. Dirò, per incidenza, che quest'ultimo ramo am- 

 mette il seguente sviluppo in serie di potenze intere dell'operazione D: 



°B_ / ^n-i-l /r.»— 1 ,r.n— 3 ^— (»— 1) \ 



= + V + li=rw> + - + ^ + r • 



Ora, perchè fosse applicabile allo spazio Vo la teoria che vale per la L negli spazi Vp 

 generici, bisognerebbe deteterminare un ramo di L, che non fosse degenere in Vo e tra- 

 sformasse tale spazio in sè stesso. L'esame dei due rami di L dianzi considerati sugge- 

 risce l'idea di connettere convenzionalmente la determinazione del primo ramo, relativa 

 allo spazio S', con la determinazione del secondo ramo relativa allo spazio S. Questa con- 

 nessione non è consentita dal sistema (6) se non nello spazio Vo, il quale si può dire 

 intersezione dei due iperpiani di V» che son definiti dalle equazioni =0 ed a» = 0. 



(') Pincherle, Sull'operazione aggiunta, Rend. delle sessioni dell'Acc. di Bologna, 

 1897-1898. 



