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di essere tale che (a^cp ,f) = {(p^ xf). 

 Un' operazione A si dice aggiunta di A quando sia (A(^'),/')=(9),A(/')). 

 Fra i teoremi dimostrati in proposito ricorderò il seguente (^): « Se 

 A , B , C , ... , X sono le aggiunte delle operazioni A , B , C , ... , X rispetti- 

 vamente, e si ha X = ABC ... si avrà X = ... CBA 



Ora designo con W uno spazio qualsiasi, che goda, rispetto alla L, delle 

 proprietà dianzi indicate in generale (2) : in esso avremo 



(L<ry ,/) = (9 ,^L/"). 



Ma per la «), per il teorema or ora enunciato e per essere 1' aggiunta D 

 della derivazione D uguale a — D, viene : 



i^xif , f) = {BLcp , /) = (9 , W) = -{(p , LD/) ; 



quindi si conclude, per la definizione dell' operazione {(f , /), 



xLf= — LDf. 



Similmente si ha 



{xL(f , /) = — , Lxf) : 

 d' altra parte, in virtù della b) , 



{xLcp , /) = - (LD^ , /) - - {cp , DL/) = {cf , DL/) ; 



quindi 



L(^/)^-DL/. 



Concludendo, ottengo per la operazione L le medesime equazioni sim- 

 boliche assegnate per la L: posso quindi enunciare il teorema: 



La trasformazione di Laplace coincide con la sua aggiunta. 



7. Lo Schlesinger ha dimostrato {^) che « la aggiunta (di Lagrange) 

 della trasformata di Laplace di una forma differenziale lineare di rango 1 è 

 tale, che la sua trasformata di Laplace è la aggiunta della primitiva ». 



Il teorema del n. precedente permette di generalizzare questa osserva- 

 zione ad un' operazione distributiva qualsivoglia. Sia A un' operazione distri- 

 butiva qualsiasi; pongo 



LAL-' A, . 



Poiché le operazioni distributive formano un gruppo, sarà distributiva, 

 insieme con L , A , L~' , anche la Ai . Si avrà allora pel teorema enunciato 

 al n. precedente 



A, = L-^AL . 



Ma abbiamo dimostrato dianzi che LL~' 1 e quindi che LL~' = 1 ; 

 ne viene 



LA,L-' = A. 



(1) Pincherle, SuW operazione aggiunta, § 6. 



(2) Di tutte e tre quelle proprietà godono gli spazi Vp generici, non per altro lo 

 spazio Vo . 



(3) Haudbuch der Theorie der linearen Differentialgleichungen. I Bd , S. 426. 



