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Dunque la aggiunta Ai della trasformata di Laplace A, di un' opera- 

 zione distributiva A qualsiasi è tale^ che la sua trasformata di Laplace 

 coincide con l'aggiunta di A. 



8. L' operazione L può essere usata per trasformare operazioni distribu- 

 tive di tipo noto in operazioni meno studiate, e quindi per dedurre, da pro- 

 prietà conosciute di quelle, nuove proprietà per queste. 



Considero, p. es., una qualsiasi forma diiferenziale lineare F, i cui coef- 

 ficienti siano serie di potenze intere positive della x: sia precisamente 



00 n 

 r=o s=o 



Avrò per la e), 



00 n 

 r=0 s=o 



cioè otterrò lo sviluppo in serie di potenze della D, di un'operazione, i cui coeffi- 

 cienti sono tutti polinomi dello stesso grado n. Eeciprocamente, un semplice 

 computo di parametri ci assicura che ogni operazione di siffatto tipo si può 

 riguardare come la trasformata di Laplace di una forma diiferenziale lineare, 

 avente come coefficienti delle serie di potenze intere positive della variabile. 

 Considero in secondo luogo come la L trasformi le operazioni distribu- 

 tive normali, cioè quelle del tipo 



00 



00 



ove sia a,. = X Ho allora 



00 00 



LAL-> Z Z (— l)** ar.B D'-*^ x^ 



r=o s=o 



00 00 / / I \ 



= Z Z (— 1)' (^r., ( + ^ ( T ) + 



r=o s=o \ \ 1 / 



+ r (r— 1) + x'-^ -\ [- r ! D'^ , 



cioè ottengo, come trasformata di un' operazione normale, una serie di potenze 

 intere e positive di D, i cui coefficienti sono polinomi di grado, rispettiva- 

 mente, non maggiore dell' esponente della relativa potenza di D. Inversa- 

 mente, la L~' trasforma ogni operazione siffatta in un' operazione normale. 



Dalla espressione data or ora di LAL~' discende chiaramente, che le 

 sole operazioni normali, che sono trasformate dalla L in forme differenziali 



