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lineari, sono le forme differenziali lineari, {normali) a coefficienti razionali. 

 Reciprocamente, condizione non pur necessaria, ma anche sufficiente, affinchè 

 una forma differenziale lineare 



sia dalla trasformata in una forma differenziale lineare normale (a coef- 

 ficienti razionali) si è che in essa , Pi , P2 , ... , P™ siano polinomi di grado, 

 ciascuno, non maggiore dell' indice rispettivo. In particolare rendono sod- 

 disfatta questa condizione quelle forme differenziali lineari, in cui i succes- 

 sivi coefficienti sono polinomi di grado, ciascuno, eguale al rispettivo espo- 

 nente della D, ed è noto che siffatte forme, ove ogni radice rpla di Po sia 

 (r — l)pla per Pi , (r — 2) pia per P2 , ... , radice semplice per P^ , appar- 

 tengono alla classe del Fuchs. Si verifica invero direttamente che le forme 

 differenziali lineari normali 



a)==^«D"+^"-i(^?o.n-l+«l.n-l^)D'^lH-^"-^(«o.«-2+«l.n-2^+«2.«-2^')D"-''+---+ 



sono trasformate dalla L in forme differenziali lineari F, in cui ogni coeffi- 

 ciente Pi è un polinomio di grado e (/ = 0 , 1 , 2 , ... , m). Reciprocamente, 

 noterò che una qualsivoglia forma differenziale lineare del Fuchs si può 

 considerare (a meno, in certi casi, di un semplicissimo cambiamento di fun- 

 zione) quale trasformata di Laplace di una forma, <2>. Le equazioni = 0, 

 ci danno una classe di equazioni differenziali lineari a integrali irregolari 

 (nell'intorno del punto ^—00), che, sotto le restrizioni indicate dianzi per 

 i coefficienti, la L trasforma in equazioni (del Fuchs) a integrali regolari 

 nell'intorno di ogni loro punto singolare ('). 



9. Nell'Analisi si dà il nome di trasformazione di Laplace alla tra- 

 sformazione di y in I// 



Questa trasformazione, in ogni spazio lineare di funzioni analitiche, quando 

 si scelga convenientemente la linea / nel piano complesso, rappresenta un' ope- 

 razione distributiva, soddisfacente alle a) , b). Essa quindi fornisce, in ogni 

 siffatto spazio, l'espressione analitica di un ramo dell'operazione L, 



F = PoD" + P,D + P,D^ H h P^D 



-j- («00 + «10^ + «20.2?^ H h O'n.oX'') 



(') Le * = 0 sono un caso particolare delle ben note equazioni del Poincaré: vedi 

 American Journal of Mathematics, voi. VII: e Acta Mathematica, Bd. Vili. 



