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ed infine 



ds' 1 



per cui il precedente sviluppo di V si può cambiare nel seguente: 



Se ora si pone 



si avrà 



K' == — = , (H costante) 



Ora per dimostrare che, dopo l' espressione assunta per la densità, V è 

 costante su tutta la superficie dell'ellissoide, basterà far vedere che V è 

 costante su tutta la superficie della sfera di raggio q , giacché dovrà di con- 

 seguenza essere costante per tutti i punti interni alla medesima e per un 

 noto teorema di Gauss (') dovrà essere pure costante in tutto l' interno e 

 sulla superficie dell' ellissoide. 



Osserviamo che il primo termine dello sviluppo precedente è 



ed è indipendente da q ,6 , (p; e siccome V deve essere costante qualunque 

 sia Q per quanto piccolo se deve esser costante sulla superficie dell' ellissoide, 

 ne consegue che condizione necessaria e sufficiente perchè lo strato ellissoidico 

 considerato sia equipotenziale, è che i singoli termini del precedente sviluppo 

 ad eccezione del primo si annullino, vale a dire dovrà aversi 



'P„ (cosw) 



cW = 0 



per tutti i valori di n cominciando da uno. 



Molto facilmente si vede che la relazione ora scritta ha luogo per n 

 dispari, giacché ad ogni elemento positivo dell' integrale ne corrisponde uno 

 negativo di egual valore assoluto; per cui non ci resterà che a dimostrare 

 che è 



T2„(cos w) 



J 



^'2m— 2 



da' = 0 



per tutti i valori di n cominciando da uno. 



(1) P. G. Lejeune-Dirichlet, Vorlesungen ùber die im umgekerten Verhàltniss . . . ecc. 

 herausgegehen von D''. F. Grube. Leipzig, 1876, pag. 180. 



