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qualunque sia n superiore ad uno, s' innalzi il primo membro dell' equazione 

 dell'ellissoide alla potenza n — 1. Con ciò si otterrà l'equazione 



4- 1! -L ^V" - 1 



cui dovranno soddisfare i punti della superficie del medesimo. 



Ora è facile osservare che effettuando l'innalzamento a potenza si ot- 

 terrà nel primo membro una funzione omogenea di grado 2n — 2 delle coor- 

 dinate X ,y , s; per cui, ponendo 



sc^ -\- -\- 2'^ = , 



per un teorema di Gauss (^) intorno alle funzioni omogenee, indicando con 

 <f{x ,y,s) il primo membro, si potrà porre 



(p{x,y,2)=: Y'^'^-^> + Y<2"-« -] f- r^"-^ yco) ^ 



dove le Y rappresentano funzioni omogenee delle coordinate dei gradi rispettivi 



2/? — 2 , 2?z — 4,... ,0, 

 le quali soddisfanno all' equazione 



VY ;yY^^ 



Se ora si pone 



^ = r cos 6» , y — rsend coscf , 2 =-r sen sen ^ , 



si ottiene, sempre riferendoci al citato teorema di Gauss, 



9 , ^ , = r'"-' (X,n-2 + X2„_4 H h Xo) , 



dove le X rappresentano funzioni sferiche pure (denominazione usata da 

 Gauss) degli ordini rappresentati dai rispettivi indici ; per cui l' equazione 

 cui devono soddisfare i punti della superficie ellissoidica si potrà anche 

 scrivere : 



^2n-z ~ X2M-2 + X2„_4 -f- ■ ■ ■ + Xo ; 

 per cui pel punto di coordinate Q',6\(p' si avrà 



^rgn-Z ~ X'2n-2 + ^ ìn-i + ' ' " + X'o , 



dove coir apice abbiamo inteso di denotare i valori delle funzioni sferiche 

 degli angoli 6' ,(f' . 



(1) E. Heine, Theorie der Kugelfunctionen und der vervjandten Functionen. Berlin, 

 1878, voi. I, pag. 324. 



